martes, 8 de abril de 2014

Nicolás II Ultimo Emperador de Rusia - resumen

Nicolás II de Rusia
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Nicolás II de Rusia 
(En ruso : Николай II Александрович Романов - Nikolai II Alexandrovich Romanov) ( Tsarskoie Seló 1868 - Ekaterinburg1918 ). 



Zar y autócrata de todas las Rusias, Gran Duque de Finlandia, Duque de Curlandia, Semigalia, y de Holstein-Gottorp.

Último zar de Rusia , fue asesinado junto con su familia en la casa Ipatiev de Ekaterimburgo. 
Gobernó de forma autocrática el país desde 1894 hasta 1917.
A través de sus políticas autocráticas y la falta de voluntad de reformar aceleró el colapso de la monarquía rusa . Después de la exitosa revolución de febrero de 1917 se vio obligado a abdicar y, posteriormente, fue internado junto a su familia hasta que en julio de 1918 fueron fusilados por los bolcheviques.
Hoy es considerado como el último zar y es la voluntad de la Iglesia Ortodoxa Rusa tomarlo en cuenta como como un santo venerado.

Nacimiento y familia 

Nacido el día 18 de mayo de 1868 en el palacio real de Tsarskoie Seló cerca de la capital imperial, San Petersburgo . Hijo del zarevich y después zar Alejandro III de Rusia y de la princesa Dagmar de Dinamarca . Era nieto por vía paterna del zar Alejandro II de Rusia y de la princesa María de Hesse-Darmstadt y por vía materna lo era del rey Cristiano IX de Dinamarca y de la princesa Luisa de Hesse-Kassel .
Nicolás tenía lazos de parentesco con la mayoría de las casas real europeas. Así, era primo en primer grado del rey Jorge V del Reino Unido , del rey Cristiano X de Dinamarca , del rey Haakon VII de Noruega , del rey Constantino I de Grecia , del duque Ernesto Augusto de Hannover y de la princesa Helena de Grecia .

Konstantin Pobedonostsev por Iliá Repin 1903

El futuro emperador Nicolás II fue educado en los rígidos cánones de la corte rusa y en un marcado aislamiento de la agitada y convulsa situación interna del imperio. Su infancia transcurrió en el reinado de su abuelo Alejandro II, y después de su asesinato, su padre subió al trono y él se convirtió en heredero. Su tutor oficial fueKonstantin Pobedonostsev , gracias al cual Nicolás aprendió las convicciones autocráticas de su padre Alejandro III y la doctrina del origen divino del poder del zar. Fue educado como un aristócrata, obteniendo una gran cultura y una esmerada educación y gracias a los viajes a Inglaterra, Japón y la India efectuados durante su juventud ya su parentesco con la realeza británica, hablaba un avanzado nivel de inglés, de francés, (en aquel tiempo la lengua preferida entre la alta sociedad rusa) y el alemán. Un hecho destacable era la notable parecido físico que guardaba con el futuro rey Jorge V de Inglaterra. Muchas veces ambos bromeaban cambiando sus vestimentas para imitar sus roles respectivos. Hombre atractivo, tuvo algunos amores de juventud como la bailarina Mathilde Kschessinska, pero se quedó prendado de una de las nietas de la reina Victoria I, la princesa Alix de Hesse-Darmstadt, a la que llamaba Sunny y establecer una relación muy romántica y duradera.
Personalidad 
Nicolás II al momento de asumir el gobierno no tenía la fuerte personalidad de su padre, ni la preparación mínima requerida para una Rusia convulsionada, con conflictos latentes y que ocupaba una arista preponderante en el ámbito internacional.
Una de las causas principales fue que su padre, Alejandro III, no lo formó a tiempo para tomar el papel de zar, especialmente en el tema de las relaciones internacionales y los asuntos internos. En efecto, Nicolás II era hasta el momento de la prematura muerte de su padre, tratado casi como un niño. Tal es así que el mismo al momento de asumir el poder manifestó a una persona de confianza que:
« -No estoy preparado para ser zar, nunca quise serlo. No sé nada del arte de gobernar, ni siquiera sé la forma en que debo hablar a los ministros .... »
El zar Nicolás II, al contrario de la personalidad enérgica de su padre, era de naturaleza abstraída, honrada y meticulosa, esencialmente tímido, romántico e idealista y con un carácter pacífico. Fue muy manipulado por sus tíos y más adelante por el Kaiser Guillermo II que se aprovecharon del nuevo e inmaduro gobernante para sacar partido a favor de sus conveniencias.
Incapaz de enfrentarse abiertamente a sus ministros o de discrepar cara a cara con algún contrario de opinión, prefería hacer uso de la sutil caballerosidad para dar a entender cuando algo le disgustaba. Le gustaban las obras de teatro, el ambiente grato de la familia, de la música, las marchas militares y navegar en el yate imperial Standart.
Si bien se puede cuestionar su personalidad como zar, como padre era un modelo de excepción para sus hijos y un entregado marido por la emperatriz Alexandra.




Ascenso al trono 



Nicolai y su tío, el futuro Jorge V de Inglaterra.

En 1894, y tras complicaciones derivadas de una nefritis, falleció su padre, Alejandro III, el 1 de noviembre y pasado el período de luto protocolario, Nicolás fue coronado como sucesor y adoptó el nombre de Nicolás II. De acuerdo con sus propias palabras, no tenía formación política, y lo ignoraba todo sobre el gobierno del imperio, explicando su ingenuidad al ser coronado zar en noviembre de 1894. Incluso su propio padre dudaba de su habilidad para administrar y mantener un territorio de 23 millones de km ².
La influencia de sus tíos paternos, especialmente Sergei Aleksandrovich Romanov, Gran Almirante de la Armada, tendría en ello un asidero, y las intrigas cortesanas pesarían gran manera en la acción del nuevo zar, ya que de hecho tuvo que soportar al principio manipulaciones de sus propios tíos.
Poco después de su coronación, el 26 del mismo mes, contrajo nupcias con Alix de Hesse, que había tomado el nombre de Alejandra Hessen-Darmstadt al  convertirse a la ortodoxia.




Boda y descendencia 


Nicolai y su familia, 1913







Coronación de los zares

Siguiendo la política de acercamiento a Francia iniciada por Rusia durante el reinado del zar Alejandro III de Rusia para evitar el aislamiento al que la Alemania de Otto von Bismarck había sometido ambos países, Alejandro creyó conveniente que el zarevich se casara con una princesa de la casa real de los Orleans de Francia . Además, este también era un deseo de la zarina ya que su hermano menor, el príncipe Valdemar de Dinamarca también se había comprometido con una princesa orleanista.
Ahora bien, Nicolás cayó locamente enamorado de su prima, la princesa Alexandra de Hesse-Darmstadt . Alexandra era hija del gran duque Luis IV de Hesse-Darmstadt y de la princesa Alicia del Reino Unido , por lo que la princesa era nieta de la reina Victoria I del Reino Unido . Alexandra rechazó la unión ya que significaba no romper la tendencia que desde la zarina Catalina II de Rusia hacía que todos los zares se casaran con princesas alemanas. Además, una hermana de Alexandra Alix , la princesa Isabel de Hesse-Darmstadt , ya estaba casada dentro de la familia imperial con el gran duque Sergio de Rusia y esto creaba suspicacia a la Corte respecto de la creación de un partido pro-germano. Finalmente se ha de tener en cuenta que una de las principales políticas zarista era el fundamento del paneslavismo el que chocaba de frente con el pangermanismo.




Los hijos del zar Nicolás 1909


Sin embargo, Alejandro III en el lecho de muerte, autorizó la boda que se celebró el 26 de noviembre de 1894 . La pareja tuvo cinco hijos:
SAI la gran duquesa Olga de Rusia nacida en 1895 en San Petersburgo y muerta el 1918 a Ekaterinburg .
SAI la gran duquesa Tatiana de Rusia nacida en 1897 en San Petersburgoy muerta el 1918 a Ekaterinburg .
SAI la gran duquesa María de Rusia nacida en 1899 en San Petersburgo y muerta el 1.918 a Ekaterinburg .
SAI la gran duquesa Anastasia de Rusia nacida en 1901 en San Petersburgo y muerta el 1918 a Ekaterinburg .
SAI el zarevich Alexei de Rusia nacido el 1904 en San Petersburgo y muerto el 1918 en Ekaterimburgo .

Nicolás II y la Duma (parlamento

La formación recibida por Nicolai para sustituir a su padre en el cargo de zar fue escasa, incluso inexistente. Sin embargo, Nicolás realizó un viaje a Japón y lo hizo en compañía de su primo, el príncipe Jorge de Grecia .  En Japón , un anarquista intentó asesinarlo, aunque una rápida acción de su primo impidió el regicidio .
Las relaciones de Nicolás con la Duma nunca fueron especialmente buenas. La primera Duma, con una mayoría de miembros del partido de los Cadetes (de orientación monárquica y liberal) inmediatamente entró en conflicto con el zar. Con todo, las relaciones iniciales entre el zar y el primer ministro, Sergei Witte , eran buenas y si estas llegaron a frustrar fue por el papel jugado por la zarina. La situación política se deterioró y Nicolás abolió la Duma. De Witte, incapaz de reformar la monarquía y el país, presentó su dimisión. Nicolás premió a De Witte con la Orden de San Alejandro Nevski de diamantes.
La segunda Duma resultó tener los mismos problemas, el nuevo primer ministro, Pyotr Stolypin , descrito como un reaccionario, la disolvió unilateralmente y cambió la ley electoral de cara a futuras Dumas para que tuvieran un resultado más conservador. Stolypin tenía importantes planes de reforma que pasaban para posibilitar que gran parte de los agricultores adquirieran lotes de tierra y así crear una clase leal a la monarquía. Sus planes, sin embargo, fueron cortados de raíz por los miembros más conservadores de la Corte ya que tenían más influencia sobre el zar. Stolypin fue asesinado por un joven estudiante de origen judío en un teatro de Kiev .

Política internacional 




El zar preside el Consejo de Estado 27 de mayo de 1901.

A instancias de sus consejeros y, sobre todo, manipulado por su primo el emperador alemán, Nicolás se esforzó por extender su influencia en Asia, rivalizando en esta carrera con las potencias occidentales imperialistas; ordenó la intervención de Rusia en la Guerra Chino-Japonesa de 1896, en el establecimiento de la base de Port Arthur en 1898, la ocupación de Manchuria en 1900, y convino con los británicos el reparto de Persia en esferas separadas de influencia en 1907. Asimismo, fue uno de los principales promotores del desarme, reflejados en su papel como iniciador de las Conferencias de la Haya de 1899 y 1907 Los intentos por ejercer una influencia determinante en Europa Oriental y los Balcanes como cabeza de un movimiento paneslavista , dieron lugar a múltiples conflictos y tensiones internacionales, en virtud del alineamiento ruso con Serbia frente a los intereses del Imperio austrohúngaro, pero, tras sufrir una primera derrota diplomática en la crisis de Bosnia (1908), las Guerras Balcánicas de 1912 y 1913 acabaron definitivamente con el control ruso sobre la península balcánica.
Establecer nuevas relaciones con Francia, su más leal aliada, y con Alemania, gracias a su estrecho parentesco con el emperador Guillermo II; este último fue largamente su consejero de mayor confianza en materia internacional, aunque muy manipulador, resultaba evidente para cualquier operador político más sagaz que el zar, que sus consejos estaban orientados a emplear la influencia rusa para controlar los intereses de otras potencias, muchas veces en beneficio directo de Alemania y socavar la alianza entre Francia y Rusia. A la larga, la influencia nefasta de Guillermo II fue la ruina por Nicolás II.

Autocracia y procesos revolucionarios 

En política interior, Nicolás siguió la línea autocrática de sus antecesores, aunque suavizando un poco la misma, pero más bien al margen de su intervención directa, su país tuvo un proceso de industrialización acelerada que permitió a Rusia entrar en la era moderna, pero que también hizo surgir importantes núcleos obreros en forma de sindicatos. La actividad revolucionaria clandestina, las cuales se cobraron el ímpetu bajo su abuelo y su padre, seguían acelerándose durante su régimen, culminando con las revoluciones de 1905 y la de 1917.
La iniciativa del movimiento liberal presentada al nuevo zar, de establecer una constitución que fijara las normas del ejercicio del poder se encontró, sin embargo, con un rotundo rechazo monárquico; siguiendo el consejo de Pobiedonostev, Nicolás se mostró severo con lo que calificó de " insensatos sueños de participación en asuntos de administración interna ".Su rigidez alienar a sectores no particularmente comprometidos con una ideología afín a la revolución, fueron causantes de la aceleración de la mecha de descontento entre el pueblo de largo desde descontento.
Uno de estos descontentos se llamaba Lenin, un abogado que provenía de la región de Simbirsk, el hermano, Aleksandr Uliánov fue ejecutado por un intento de asesinato del zar Alejandro III en 1887.
Vladimir Ilich Ulianov, más tarde Lenin, realizó actividades subversivas en San Petersburgo, fue detenido, apresado y exiliado a Siberia. Una vez liberado, se trasladó a Ginebra y Londres para fundar las bases del movimiento comunista. El alimento para las corrientes revolucionarias como las que encabezaría Lenin, Trotsky y otros, eran la falta de una política social más solidaria de parte de los gobernantes, lo que permitió que se agravan los grandes problemas históricos del régimen zarista: la pobreza del campesinado, la muy desigual distribución de la tierra y el inexistente acceso a los cargos públicos. Esto sería el caldo de cultivo en los sindicatos de las industrias para los grupos revolucionarios que ya estaban en gestación.

Guerra con Japón 

Sello de 2004, conmemorativo del sitio de Port Arthur.
En 1905, intentando contener el avance japonés en Manchuria, que amenazaba los puertos rusos orientales, y ante la constante recomendación de Guillermo II de Alemania, Nicolás declaró la guerra a Japón. Nicolás II pensó que obtendría una fácil victoria sobre Japón, y que así conseguiría no sólo de estabilizar la situación interna, sino también una mayor preponderancia internacional con el prestigio de la victoria.
Mal informado estratégicamente y conceptual de la situación militar y naval de Japón, no evaluó su propia situación en el frente oriental recién abierto, en especial la incompetencia e inoperancia absolutas de los almirantes rusos que comandaban Port Arthur y Vladivostok.
Sin declaración de guerra, los japoneses asediaron y bloquear Port Arthur y Vladivostok, propinando una severa derrota a la flota rusa, parte de la cual quedó semihundida y cerrada al puerto. Las pérdidas en unidades navales superaron el 70%.
El emperador entonces, en un desesperado esfuerzo, movilizó la flota del Báltico, con buques de guerra (costeros) inadecuados para alta mar, en un gran periplo único en la historia, que la llevó a dar la vuelta a Europa y África, sosteniendo graves conflictos diplomáticos con Inglaterra (incidente del Dogger Bank ). Su aliada Francia también le dio la espalda en el transcurso del accidentado viaje y sólo fue abastecido por Alemania, después de casi año y medio de navegación llegaron al estrecho de Tsushima, donde fueron rápidamente derrotados por las fuerzas navales japonesas al mando de Heihachirō Togo .



El Domingo sangriento

Manifestación, por Iliá Repin

Tras las derrota de Tsushima, Nicolás II aceptó la mediación de EEUU para finalizar el conflicto. Para ello va a buscar a un ex-ministro de su padre, Sergei Witte, que fue enviado a América del Norte para negociar la paz con Japón. Tal fue el manejo mediático de Witte que logró sacar ventajas aparentes de las paces que Japón quería imponer a Rusia y regresó convertido prácticamente en una especie de héroe. Después de dar su informe a Nicolás II, éste le nombró Conde.
Pero, un hecho grave haría virar las tornas del destino a la dinastía Romanov: Un cura llamado Yuri Gapón logró convocar una masa descontenta de obreros y otras fuerzas vivas integrantes del pueblo, que organizaron una marcha informal para ir a entregar una serie de peticiones anti-autocráticas al zar, que se encontraba en San Petersburgo (en el Palacio de Tsarskoie Seló) el domingo 22 de enero de 1905.
Cuando la multitud llegó a las inmediaciones del Palacio de Invierno sobre las 14 horas, se encontró que el palacio estaba resguardado por tropas de cosacos, que habían sido convocados por el ministro del interior, el príncipe Sviatpolsk Mirski. Cuando llegaron a unos 100 metros de la entrada, los soldados dispararon a la masa y, además, atacaron con una carga de caballería cosaca, produciendo una cifra estimada de 92 muertos. Este hecho tuvo repercusiones insospechadas, ya que alimentó las chispas primigenias de la revolución que los mencheviques y bolcheviques deseaban que estallara, como en efecto más adelante sucedió.
Además, era el momento para que el zar tomara una acción decisiva: o apagaba la revolución imponiendo la dictadura, o accedía a las peticiones de los revolucionarios. Witte tuvo un papel gravitante y decisivo en el desarrollo de los acontecimientos. Mirski fue destituido y, en su lugar, se nombró a Sergei Witte como ministro de interior en calidad interina. A la larga, este cambio atraería la ruina para la estabilidad del régimen de Nicolás II.
En este año de 1905 hubo más atentados. En uno de ellos murió un tío de Nicolás II, el gran duque Sergio Romanov, esposo de Ella (Isabel Hessen-Darmstadt), la hermana de la Emperatriz, y además se sublevaron los marines en los puertos, como el caso del acorazado Patiómkin. Una gran huelga paralizó la industria y los revolucionarios, dirigidos por Trotsky, Lenin y otros agitadores marxistas, alimentaban la llama de la revolución. La situación no podía ser más compleja para la estabilidad y continuidad del régimen zarista.

La enfermedad del zarevich 

Sin embargo, el principal problema de orden interno que Nicolás tuvo que afrontar fue el de la sucesión. Alexandra había dado a luz cuatro hijas y no fue hasta el quinto hijo-después de casi nueve años de matrimonio-que nació el zarevich. Bautizado con el nombre de Alexei pronto dio muestras de padecer hemofilia , enfermedad heredada de su madre a través de la reina Victoria I del Reino Unido . Debido a la fragilidad política, la Casa Imperial decidió no hacer pública la noticia. Incluso muchos miembros de la Casa Imperial no conocían con exactitud la enfermedad que padecía el zarevich.

Rasputin rodeado de admiradoras.

Grigori Yefímovich Rasputin, apareció en los círculos monárquicos gracias al contacto que hizo Ana Výrubova, la más cercana cortesana a la zarina a causa de la enfermedad hemofílica que padecía su hijo Alexis. La influencia que ejercía sobre el niño le permitía controlar la enfermedad del heredero al trono, por lo que pronto ganó la confianza absoluta de la zarina. Rasputin era en sí una persona extraordinaria, con un grado de acierto muy notable en sus predicciones, una mezcla de santurrón y amistad muy convincente pero, en contrapartida, un ser con un alter ego muy libidinoso rayando en el maníaco que buscaba el placer sexual entre las consortes del palacio.
Rasputin pronto convirtió la zarina en su amiga y confidente, al punto que ella consideraba seriamente los consejos que él le daba. La razón de esta influencia poderosa, era que la Emperatriz consideraba Rasputin, un enviado de Dios. Esta situación, permitió a Rasputin tomar un papel decisivo en los nombramientos ministeriales. Se le conocía por su apodo de monje loco, y su comportamiento cada vez más egolatra y desafiante comenzó a suscitar odios entre la nobleza y especulaciones de todo tipo en el pueblo.
Antes de la partida de Nicolás II al frente alemán, Rasputin predijo que si él moría a manos de gente de su familia, nadie de la familia de Nicolás le sobreviviría más de dos años.
Finalmente fue asesinado por un grupo de aristócratas que le habían invitado a una fiesta del 29 al 30 de diciembre de 1916. Parece probado que sus asesinos, con el príncipe Félix Yusúpov a la cabeza, le dieron pasteles y vinos cargados de cianuro. Al ver que no le afectaba en exceso, el príncipe le disparó en el pecho, le golpeó la cabeza con un bastón lleno de plomo y lo arrojó al río Neva. Se comprobó que Rasputin murió más tarde ahogado .

La Primera Guerra Mundial y la Revolución Rusa 

Tras el asesinato del archiduque Francisco Fernando de Austria por parte de Gavrilo Princip , miembro de una asociación nacionalista serbia conocida como la Mano negra , a Sarajevo el 28 de junio de 1914 , el movimiento paneslavista se puso en marcha y ejerció una enorme influencia sobre el Zar para que este ejerciera de protector de Serbia . Pero Nicolai no quería desproteger a  Serbia ni que eso significara quedar evocado a una guerra general. En una serie de cartas intercambiadas con el káiser Guillermo II de Prusia , los dos mandatarios expresan su voluntad de paz; y Nicolás cumplió, únicamente movilizó el ejército a la frontera austriaca. Sin embargo, a finales del mes de julio, la guerra ya era inevitable y el Zar ordenó una movilización general del país.
Los principales frentes rusos se situarían en contra del imperio alemán, del imperio austrohúngaro y del imperio otomano. Las derrotas fueron estrapitoses y culminaron con la derrota de los lagos de Tannenberg que dieron la llave de entrada a los alemanes y austriacos a la Rusia blanca.
Nicolás se centró en la guerra mientras que Alexandra lo hacía en los asuntos internos. Los rumores de la influencia de Rasputin sobre la zarina en materia política cada vez aumentaban más. Además, Alexandra era alemana de origen y eso despertaba recelos en el seno de la población rusa que veía en la zarina una traidora. Todo ello acabó con el asesinato de Rasputin por parte de un grupo de nobles liderados por el príncipe Felix Yussupov el 16 de diciembre de 1916 . Sin embargo, la población pedía de forma creciente la finalización de la guerra pero el gobierno se negaba a consecuencia de las malas posiciones del ejército ruso en los diferentes campos de batalla.
El gobierno monárquico comenzó a desintegrarse con abismos de rapidez a partir de enero de 1917, las situación interna, difícil para el curso desfavorable de la guerra con Alemania y las instigaciones revolucionarias, sumadas a las intervenciones políticas de la Emperatriz hicieron que la cuarta Duma cediera a la presión de los revolucionarios y se formara un gobierno provisional, liderado por Kerenski, un revolucionario de estilo moderado.
La situación explotó en marzo de 1917 cuando se produjo la Revolución de Febrero que condujo a la abdicación del Zar.




Abdicación y prisión 




El Gran duque Miguel Aleksándrovich Románo  - Miguel II


La decisión de formar el gobierno provisional tuvo aceptación en todos los estamentos sociales y militares, incluido el estado mayor de Nicolás II, que se vio encajonado con la situación política grave que se imponía a Petrogrado. Por un instante, se redactó la abdicación en favor de su hijo Alexis, pero dada la condición de salud e inmadurez del heredero, cambió de parecer. Nicolás II, incapaz de controlar la situación, abdicó sus derechos y los de su hijo, el 20 de marzo de 1917, en favor de su hermano Miguel IV de Rusia, el gran duque Miguel rechazaría el ofrecimiento horas después, dando así fin a la dinastía Romanov y el comienzo de la era de los soviets.
Nicolás se dejó detener sin ofrecer resistencia a su regreso del desmoronado frente.Tuvo la suerte de no ser encerrado en la Fortaleza de San Pedro y San Pablo y fue confinado con su mujer e hijos en el palacio Tsarskoie Seló, en las afueras de San Petersburgo, reteniendo algunos privilegios domésticos.
Aleksandr Kerenski no era enemigo consumado del zar, más bien objetivo y racional pudo acceder a la verdadera naturaleza de las personalidades de los depuestos llegando a reconocer que muchas de las acusaciones y traiciones eran más bien mitos y falsedades populares e incluso llegó a apreciarlos en esta etapa, e intentó buscar su salida al extranjero, pero el nuevo gobierno de los Soviet de Petrogrado logro prohibir su exilio, además se sumó el infausto hecho que tanto Inglaterra, Alemania y su aliada Francia ignoraron los requerimientos de exilio.
En agosto de 1917, temiendo un intento de asesinato, Kerenski exilió a Romanov a Tobolsk, en Siberia. Antes de partir Kerenski debió  prevenir a Nicolás: " Los soviets desean mi cabeza, después vendrán por usted y su familia ".
En Tobolsk, la familia del zar disfrutó de una relativa libertad de movimientos ya que el sector era pro-monárquico, incluso hubo oportunidades de realizar una huida o ser rescatados ya que la guardia no era numerosa e incluso algunos soldados llegaron a establecer alguna relación amistosa con los prisioneros.
El primer ministro británico Lloyd George , a quien se había pedido asilo, declinó la propuesta, así como los franceses, no deseando agravar la ya compleja situación política de Europa. Esto sellaría finalmente el fatídico destino de los Romanov.

Asesinato y desaparición del zar y su familia 




Casa Ipatiev donde fueron apresados y asesinados los zares



Lenin y sus seguidores ingresaron al territorio ruso mediante la ayuda de Alemania la cual les dio amplias facilidades para hacerlo, de esta manera, Alemania juzgaba con justa razón que Lenin provocaría el derrocamiento del débil gobierno provisional y la rendición de las fuerzas rusas para de esta manera enfocar sus fuerzas en occidente, lo que ocurrió con el Tratado de Brest-Litovsk, y provocó la huida de Kerensky.
Al triunfar la Segunda Revolución rusa en octubre, en la que los bolcheviques-liderados por Lenin-derrocaron al gobierno de Kerenski, y el Soviet Central a cargo de Yákov Sverdlov, un personaje que pertenece al círculo íntimo de Lenin, y quien estaba a cargo administrativamente del destino del zar, ordenó primero el traslado a Moscú del emperador depuesto, pero luego se instruyó el traslado de la familia imperial en Ekaterimburgo, que se encontraba bajo control del Soviet de los Urales con apoyo del Ejército Rojo.
El gobierno alemán había propuesto al Soviet que el emperador refrendase el tratado de paz, pero como segunda intención oculta era negociar la libertad de Nicolás II para posteriormente poder reimplantar el régimen monárquico ya que Alemania se había dado cuenta de que la revolución socialista mundial proclamada por Lenin pronto llegaría a las masas populares alemanas. Por esta razón se le había intentado enviar a Moscú en un primer momento. El Soviet, al tanto de estas maniobras y temeroso de lo que implicaba la intención, tomó las provisiones para que nunca se volviera a instalar el zarismo en Rusia.

La última fotografía del zar en vida.

El 4 de julio de 1918, ante el avance de la Legión Checoslovaca hacia la ciudad, se temió que estas tropas liberasen a la familia e intentaran restaurar el régimen del zar. Un escuadrón al mando de Yákov Yurovski relevó la guardia de la casa, y el 13 de julio recibió la orden del Soviet de los Urales de fusilar a toda la familia.
A la medianoche del 17 de julio el zar con los integrantes de la familia fueron llevados al sótano de la Casa Ipatiev donde fueron fusilados, con algunos sirvientes cercanos, un médico leal, e incluso el perro del niño. El pretexto era que había que tomar una fotografía antes de salir, o se les había de trasladar.
Nicolás II colocó al heredero en sus rodillas mientras tomaba asiento junto a la zarina, las hijas se sentaron atrás y los sirvientes y el médico a los costados, de pie. Pasaron unos instantes y de repente entró Yákov Yurovski con un revólver en mano y 17 soldados armados con fusiles y bayonetas.
Cuando Yákov Yurovski levanta el revólver declara al zar que el pueblo ruso le había condenado a muerte, el zar alcanza a balbucear: - "¿qué?" - Y le dispara casi a bocajarro. El zar cae instantáneamente muerto y seguidamente los fusileros realizan una descarga cerrada al resto de la familia. Las hijas, que llevaban corsés estrechas y además en su interior estaban cargados con joyas, no mueren inmediatamente y son rematadas a la bayoneta. El zar murió con 50 años recién cumplidos.
Una de las sirvientas que no recibió la primera descarga es perseguida dentro de la habitación y rematada a bayonetazos, e incluso la mascota es muerta de un disparo.
Posteriormente los cuerpos son llevados en camiones y depositados en una mina abandonada. Al día siguiente, Yurovski, temiendo que el rumor sobre el fusilamiento indujera a recuperar los cuerpos, ordenó su traslado y destrucción de los cadáveres por fuego y ácido y ordenó tirarlos a zanjas de otras excavaciones, ubicadas 12 km fuera de la ciudad, en la mina que se llama " los cuatro hermanos ".

Comunicado oficial del Soviet de los Urales. 

"Decisión del Presidium del Consejo de Diputados, Obreros, Campesinos y Guardias Rojos de los Urales:
En vista del hecho de que bandas checoslovacas amenazan la capital roja de los Urales, Ekaterimburgo, que el verdugocoronado podía escapar al tribunal del pueblo (un complot de la Guardia Blanca para llevarse a toda la familia imperial acaba de ser descubierto) el Presidium del Comité divisional, cumpliendo con la voluntad del pueblo, ha decidido que el ex zar Nicolás Romanov, culpable ante el pueblo de innumerables crímenes sangrientos, sea fusilado.
La decisión del Presidium del Comité divisional se llevó a cabo en la noche entre el 16 y 17 de julio. "


Endoso del Soviet Central. 

"Decisión del Presidium del Comité Central Ejecutivo de Todas las Rusias del 18 de julio.
El Comité Central Ejecutivo de los Consejos de Diputados de Obreros, Campesinos, Guardias Rojos y Cosacos, en la persona de su presidente, aprueba la acción del Presidium del Consejo de los Urales.
El presidente del Comité Central Ejecutivo, Sverdlov. "

El hallazgo de los cuerpos 

En 1979, los historiadores Aleksandr Avdonin y Geli Riábov hallaron la posible tumba de la familia imperial en el bosque de Koptiakí. Temiendo informar del descubrimiento, no lo hicieron público hasta años después. El 12 de abril de 1989, los periódicos informaban del hallazgo. La tumba no fue abierta hasta 1991 por las autoridades soviéticas, encontrando en su interior nueve cuerpos. Mediante el examen de los esqueletos, los científicos soviéticos concluyeron que faltaban los cuerpos de Alexei y la Gran Duquesa María. Las identificaciones de los esqueletos fueron confirmadas posteriormente mediante análisis de ADN.
Con su asesinato (ningún juez o jurado lo condenó a muerte, ni ordenó su ejecución) por el movimiento revolucionario de los bolcheviques, durante la Segunda Revolución rusa se extinguió la dinastía Romanov. Está enterrado desde 1997 en la Catedral de San Pedro y San Pablo en San Petersburgo junto con el resto de la familia imperial y de los demás zares rusos.
En 2007 se anunció el descubrimiento de los cuerpos de María y Alexis, 2 cuerpos que, tras realizarse las pruebas de ADN, serán enterrados junto a sus padres y hermanas.

Canonización 



Tumba de Nicolás II y su familia en St..Petersburgo

En 1981, la Iglesia Ortodoxa Rusa en el exilio canonizó a los integrantes de la familia Romanov, una decisión ratificada en agosto de 2000 por el sínodo de la Ortodoxia Rusa. Desde 1998 sus restos reposan en la Catedral de San Pedro y San Pablo de San Petersburgo.
Rehabilitación 
El 1 de octubre de 2008 el Tribunal Supremo de Justicia de la Federación de Rusia rehabilito a Nicolás II y a su familia, teniéndolos en cuenta como unas víctimas más de la represión política bolchevique, una decisión muy esperada por los descendientes de la familia imperial y la Iglesia Ortodoxa Rusa.
De acuerdo al veredicto pronunciado por el juez, el Tribunal Supremo calificó de infundada la represión y estableció la rehabilitación de Nicolás Romanov (Nicolás II), Alejandra Romanov (su mujer), Alexis, el príncipe heredero (zarevich) y de sus hijas Olga, Tatiana, María y Anastasia.
Esa decisión responde favorablemente a una denuncia presentada en 2005 por el abogado de la Gran Duquesa Maria Vladimirovna, que afirma ser la heredera de Nicolás II. La familia expresó «alegría y satisfacción», dijo su portavoz, Ivan Artsichevski, representante de otra rama de descendientes de los Romanov. También acogió con beneplácito la decisión de reducir al mínimo su ámbito de aplicación: «El hecho de que el Estado ha reconocido su responsabilidad en este asesinato es un paso hacia un arrepentimiento general y la de rehabilitación de todas las víctimas inocentes los bolcheviques ».




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Bibliografia:


www.wikipedia.org
Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003.
Nueva Enciclopedia Tematica Grolier 2012
https://www.ecured.cu 


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sábado, 5 de abril de 2014

Conceptos básicos de la Teoría de Grupos Resumen

Conceptos básicos de la Teoría de Grupos
Introducción a la teoría de grupos
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1. Conceptos básicos de la Teoría de Grupos  

1. Conceptos básicos de la Teoría de Grupos

1.1 Definición de grupo

Introducción a la teoría de grupos

En matemáticas, la teoría de grupos estudia los grupos.

 Un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. 

Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa , tener elemento identidad y elemento inverso . Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas , como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. Esto permite, en álgebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras se conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos. La ubicuidad de los grupos en numerosas áreas (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se organizan las matemáticas contemporáneas. [1] [2]

Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría . Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico : consiste en el conjunto de transformaciones que dejan inalterado el objeto, y la operación de combinar dos de estas transformaciones realizando una después de la otra. Tales grupos de simetría, especialmente los Grupos de Lie continuos, tienen un papel importante en muchas disciplinas académicas. Los grupos de matrices , por ejemplo, se pueden utilizar para entender las leyes físicas fundamentales en que se basan la relatividad y los fenómenos de simetría en la química molecular.

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuaciones polinómicas, comenzando con Évariste Galois durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. La moderna teoría de grupos (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos per se. [nota 1] para explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones dividir grupos en trozos más pequeños, más comprensibles, como subgrupos , grupos cociente y grupos simples . Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras diferentes en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus representaciones de grupo ), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional . Una teoría especialmente rica se ha desarrollado para grupos finitos, que culminó con la clasificación de los grupos simples finitos completada en 1983.


Definición e ilustración 

Primer ejemplo: los enteros 

Uno de los grupos más familiar es el conjunto de los números enteros Z que consiste en los números
..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .. . [3]
Las propiedades de la adición de enteros sirven como modelo para los axiomas de grupo abstractas que se dan en la definición de más abajo.
1.     Para cualquier par de enteros a y b , la suma a + b es también un entero. En otras palabras, el proceso de adición de enteros dos a la vez nunca puede producir un resultado que no sea un entero. Esta propiedad se conoce como clausura respecto la adición.
2.     Para todos los enteros a , b y c , ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Expresado en palabras, sumando primero a y b , y entonces sumando el resultado con c da el mismo resultado final que sumando a al resultado de sumar b y c , esta propiedad se conoce como propiedad asociativa .
3.     Si a es un entero cualquiera, entonces 0 + a = a + 0 = a . Del cero se dice que es el elemento identidad de la adición porque en sumarlo a cualquier entero da el mismo entero.
4.     Para cada entero a , hay un entero b tal que a + b = b + a = 0. El entero b se llama el elemento inverso del entero a y se nota - a .

Definición 

Los enteros, junto con la operación "+", forman un objeto matemático que pertenece a una clase basta en la que hay otros objetos que comparten aspectos estructurales similares. Para entender apropiadamente estas estructuras sin tratar con cada caso concreto por separado, se desarrolla la definición abstracta siguiente que incluye el ejemplo citado junto con muchos otros, uno de los cuales es el grupo de simetría detallado más abajo.
Un grupo es un conjunto , G , conjuntamente con una operación binaria "•" que combina dos elementos cualesquiera a y bde G para formar otro elemento notado a  b . El símbolo "•" es un elemento general para representar una operación concretamente dada cualquiera, tales como la adición de más arriba. Para poder calificar como un grupo, el conjunto y la operación ( G , •) , deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas de grupo : [4]
1.
Clausura.
Para todo a , b de G , el resultado de la operación a  b también pertenece a G . [nota 2]
2.
Propiedad asociativa.
Para todos a , b y c de G , se cumple la ecuación ( a  b ) • c = a • ( b  c ).
3.
Elemento identidad.
Existe un elemento e de G , tal que para todos los elementos a de G , se cumple la ecuación e  a = a  e = a .
4.
Elemento inverso.
Para todo a de G , existe un elemento b de G tal que a  b = b  a = e , donde e es el elemento identidad.
El orden en el que se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras palabras, el resultado de operar el elemento a con el elemento b no debe dar necesariamente el mismo que operando b con a ; la ecuación
a  b = b  a

puede no ser siempre cierta. Esta ecuación siempre se cumple al grupo de enteros con la adición, porque a + b = b + apara dos enteros cualesquiera ( propiedad conmutativa de la adición). Sin embargo, no se cumple siempre en el grupo de simetría de más abajo. De los grupos para los que la ecuación a  b = b  a se cumple siempre llaman abelianos (en honor a Niels Abel ). Así, el grupo de los enteros con la adición es abeliano, pero el grupo de simetría siguiente no lo es.

Segundo ejemplo: un grupo de simetría 

Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones ) de un cuadrado forman un grupo llamado un grupo diédrico , y se nota D 4 . [6]  Tiene las siguientes simetrías:

·         La operación identidad que lo deja todo como estaba, notada id;
·         rotaciones del cuadrado de 90 ° a la derecha, 180 ° a la derecha, y 270 ° a la derecha, notadas r 1 , r 2 yr 3 , respectivamente;
·         reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (f v if h ), o respecto de las dos diagonales (f d if c ).
Dos simetrías cualesquiera a y b se pueden componer, es decir aplicar una después de la otra. El resultado de hacer primero a y entonces b se escribe simbólicamente de izquierda a derecha como
b  a ("aplique la simetría b después de haber aplicado la simetría a ". La notación de derecha a izquierda proviene de la notación para la composición de funciones ).
La tabla de grupo a la derecha presenta los resultados de todas las composiciones posibles. Por ejemplo, girar 270 ° a la derecha (r 3 ) y entonces hacer una reflexión horizontal (fh) es lo mismo que hacer una reflexión a lo largo de la diagonal (fd). Utilizando los símbolos citados, sombreado en azul en la tabla de grupo:
f h • r 3 = f d .

Dados este conjunto de simetrías y la operación descrita, los axiomas de grupo se pueden entender de la siguiente manera:
1. El axioma de clausura pide que la composición b  a de dos simetrías cualesquiera a y b sea también una simetría. Otro ejemplo para la operación de grupo es
r 3 • f h = f c ,
es decir girando 270 ° a la derecha después de una reflexión horizontal es igual a una reflexión a lo largo de la contradiagonal (f c ).En efecto cada dos combinaciones de dos simetrías dan una simetría, como se puede comprobar utilizando la tabla de grupo.
2. La condición de asociatividad trata con compuso más de dos simetrías: dados tres elementos a , b y c de D 4 , hay dos maneras posibles de calcular " a entonces b entonces c ". El requisito
( a  b ) • c = a • ( b  c )
quiere decir que la composición de los tres elementos es independiente de la prioridad de las operaciones, es decir, componente a con b , y luego c con a  b equivale a hacer a después de la composición de b y c . Por ejemplo (f de • f v ) • r 2 = f d • (f v • r 2 )como se puede comprobar utilizando la tabla de grupo de la derecha
(F d • f v ) • r 2
=
r 3 • r 2
=
r 1 , que es igual a
f d • (f v • r 2 )
=
f de • f h
=
r 1 .
3. El elemento identidad es la simetría id que lo deja todo inalterado: para cualquier simetría a , realizando id tras a (o en tras yd) es igual a a , de forma simbólica,
id • a = a ,
a • id = a .
4. Un elemento inverso deshace la transformación de algún otro elemento. Todas las simetrías se pueden deshacer: cada una de las transformaciones: id, f h , f v , f de f c yr 2 son su propia inversa, porque actuando cada una dos veces lleva el cuadrado a su orientación original. Las rotaciones r 3 yr 1 son la inversa una de la otra, porque girando hacia un lado y entonces el mismo ángulo preciso en el otro lado deja al cuadrado inalterado. En símbolos,
f h • f h = id,
r 3 • r 1 = r 1 • r 3 = id.
A diferencia con el grupo de enteros de encima, donde el orden de la operación es irrelevante, en D 4 sí importa: f h • r 1 = f c pero r 1 • f h = f d . En otras palabras, D 4 no es abeliano, esto hace la estructura del grupo más difícil que la de los enteros presentada antes.

Historia 


El concepto moderno de grupo abstracto se desarrolló a través de varios campos de las matemáticas La motivación original para el desarrollo de la teoría de grupos fue el buscar soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a 4.El matemático francés del siglo XIX Évariste Galois , extendiendo el trabajo previo de Paolo Ruffini y Joseph-Louis Lagrange, dio un criterio para la resolubilidad de una ecuación polinómica particular en términos del grupo de simetría de sus raíces(soluciones). Los elementos de este grupo de Galois corresponden a ciertas permutaciones de las raíces. Al principio, las ideas de Galois fueron rechazadas por sus contemporáneos, y se publicaron sólo póstumamente. [10] [11] Más en general los grupos de permutaciones fueron investigados en particular para Augustin Louis Cauchy . Arthur Cayley a la abre Sobre la teoría de grupos que dependen de la ecuación simbólica θ n = 1 ( 1854 ) da la primera definición abstracta de un grupo finito . [12]
La geometría fue el segundo campo en el que los grupos se utilizaron sistemáticamente, especialmente los grupos de simetría como parte del programa Erlangen de Felix Klein de 1872. [13] Después de que emergieran nuevas geometrías como la hiperbólica y la geometría proyectiva , Klein usaba la teoría de grupos para organizarse de una manera más coherente. Avanzando más estas ideas, Sophus Lie fundaba el estudio de los Grupos de Lie el 1884 . [14]
El tercer campo que contribuyó a la teoría de grupos fue la teoría de números . Ciertas estructuras de grupo abelianohabían sido utilizadas implícitamente en el trabajo teórico sobre números de Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Arithmeticae ( 1798 ), y más explícitamente por Leopold Kronecker . [15] El 1847 , Ernst Kummer llevaba los primeros intentos de demostrar el último teorema de Fermat a un clímax desarrollando grupos que describen la factorización ennúmeros primos . [16]
La convergencia de estas diversas fuentes a una teoría uniforme de grupos comenzaba con el Traité des sustituciones et des ecuaciones algebraicas de Camille Jordan el 1870 . [17] Walther von Dyck ( 1882 ) dio la primera definición moderna de un grupo abstracto. [18] A partir del siglo XX , los grupos ganaron amplio reconocimiento por el trabajo pionero de Ferdinand Georg Frobenius y William Burnside , que trabajaron en la teoría de la representación de grupos finitos, la teoría de representación modular de Richard Brauer y los artículos de Issai Schur . [19] La teoría de Grupos de Lie, y más generalmente de grupos localmente compactos , fue empujada por Hermann Weyl , Élie Cartan y muchos otros. [20] Su homólogo algebraico, la teoría de grupos algebraicos , va fue formulada inicialmente por Claude Chevalley (desde finales de los años 1930) y posteriormente por el trabajo fundamental de Armand Borel y Jacques Tits . [21]
El año de Teoría de Grupos 1960-61 de la Universidad de Chicago reunió teóricos de grupos como Daniel Gorenstein ,John G. Thompson y Walter Feit , estableciendo la fundación de una colaboración que, con aportaciones de otros matemáticos numerosos , clasificó todos los grupos simples finitos el 1982 . Este proyecto excedió todos los esfuerzos matemáticos previos por su tamaño enorme, tanto en cuanto a la longitud de la demostración como al número de investigadores. La investigación para simplificar la demostración de esta clasificación aún está en desarrollo. [22] Hoy en día, la teoría de grupos es todavía una rama matemática altamente activa que impacta de forma esencial en muchos otros campos. [nota 1]



Consecuencias sencillas de los axiomas de grupo 


Los hechos básicos sobre todos los grupos que se pueden obtener directamente de los axiomas de grupo se incluyen comúnmente en la teoría elemental de grupos . [23] por Ejemplo, el aplicación repetida del axioma de asociatividad demuestran que la no ambigüedad de
a  b  c = ( a  b ) • c = a • ( b  c )
se generaliza a más de tres factores. Para que esto implica que los paréntesis se puden introducir en cualquier lugar dentro de la serie de términos, los paréntesis normalmente se omiten. [24]
Los axiomas se pueden debilitar y afirmar solamente la existencia de un elemento neutro y un elemento inverso por la izquierda. Se puede demostrar que los dos deben ser de hecho por los dos lados, así la definición que resulta es equivalente a la que se ha dado más arriba. [25]

Unicidad de los elemento identidad e inverso 

Dos consecuencias importantes de los axiomas de grupo son la unicidad del elemento identidad y la unicidad de los elementos inversos. Sólo puede haber un elemento identidad en un grupo, y cada elemento de un grupo tiene exactamente un elemento inverso. Así, es normal hablar de el elemento identidad, y el elemento inverso de un elemento. [26]
Para demostrar la unicidad de un elemento inverso de a , se supone que un a tiene dos inversos, notados en y r . Entonces
l
=
l  e
dado que e es el elemento identidad
=
l • ( a  r )
porque r es un elemento inverso de a , por lo tanto e = a  r
=
( l  a ) • r
por asociatividad, que permite reordenar los paréntesis
=
e  r
dado que el es un elemento inverso de a , se s decir el  a = e
=
r
porque e es el elemento identidad
Aquí, los dos elementos extremos del y r están conectados por una cadena de igualdades, por lo tanto son lo mismo. En otras palabras sólo hay un elemento inverso de a .

División 

En grupos, es posible realizar la división : dados dos elementos a y b del grupo G , hay exactamente un x solución a G de xal ecuación . x  a = b . [26] De hecho, multiplicando por la derecha los dos términos de la ecuación para a -1 da la solución x = x  a  a -1 = b  a -1 . De forma similar hay exactamente un y solución a G de la ecuación a  y = b , es decir y = a -1 . En general, x y y no necesariamente tienen que coincidir.
Cuenta con el significado de la palabra división . Se trata de la operación inversa de la operación de grupo, como la operación de grupo normalmente se nota como multiplicación es normal llamar su inversa división. Pero, por ejemplo, en el caso del grupo de los números enteros con la suma, la operación inversa es el resto.

Conceptos básicos 

Las secciones siguientes utilizan símbolos matemáticos como X = { x , y , z } para denotar un conjunto X que contiene los elementos x, y, y z, o alternativamente x  X para afirmar que x es un elemento de X. La notación f : X  Y significa que f es una función que asigna a cada elemento de X un elemento de Y.

Para entender los grupos más allá del nivel de meras manipulaciones simbólicas como las de arriba, deben emplearse más conceptos estructurales. [nota 3] Hay un principio conceptual subyacente a todas las nociones que siguen: aprovechar la estructura ofrecida por grupos (que por ejemplo los conjuntos en ser "sin estructura" no tienen) las construcciones relacionadas con los grupos deben ser compatibles con la operación de grupo. Esta compatibilidad se manifiesta en las nociones siguientes de varias maneras. Por ejemplo, los grupos se pueden relacionar el uno con el otro mediante funciones llamadas homomorfismos de grupo. Por el principio mencionado, se exige que respeten las estructuras de grupo en un sentido preciso. La estructura de los grupos también se puede entender dividiéndolos en fragmentos denominados subgrupos y grupos cociente. El principio de "conservar estructura"-un tema que se repite en matemáticas por todas partes-es un ejemplo de trabajar en una categoría , en este caso la categoría de grupos . [27]

Homomorfismos de grupo 

Los homomorfismos de grupo [nota 4] son las funciones que conservan la estructura del grupo. Una función a : G  H entre dos grupos es un homomorfismo si la ecuación
a ( g  k ) = a ( g ) • a ( k ).
se cumple para todos los elementos g , k de G , es decir el resultado es el mismo tanto si se hace la operación de grupo antes como si se hace después de aplicar la función a . Este requisito asegura que en (1 G ) = 1 H , y también que a ( g ) -1 = a ( g -1 ) para todo g de G . Así un homomorfismo de grupo respeta toda la estructura de G proporcionada por los axiomas de grupo. [28]
Dos grupos G y H se llaman isomorfos si existen homomorfismos de grupo a : G  H y b : H  G , tales que aplicando las dos funciones una después de la otra (en cada uno de los dos órdenes posibles) dan la función identidad de G y H , respectivamente. Es decir, a ( b ( h )) = h y b ( a ( g )) = g para cualquier g de G y h de H . Desde un punto de vista abstracto, los grupos isomorfos conllevan la misma información. Por ejemplo, demuestran r que g  g = 1 para algún elemento g de G es equivalente a demostrar que a ( g ) • a ( g ) = 1 , porque aplicando a la primera igualdad da la segunda, y aplicando b en la segunda da otra vez la primera.

Subgrupos 

Informalmente, un subgrupo es un grupo H contenido dentro de un grupo más grande, [29] Concretamente, el elemento identidad de G está contenido en H , y siempre que h 1 y h 2 sean de H , entonces también lo serán h 1  h 2 y h 1 -1 , así los elementos de H , equipado con la operación de grupo en G restringida a H , forman un grupo.
En el ejemplo de arriba, la identidad y las rotaciones constituyen un subgrupo R = {id, r 1 , r 2 , r 3 } , sombreado en rojo en la tabla de grupo de arriba: dos rotaciones cualesquiera compuestas son también una rotación , y una rotación se puede deshacer por (es decir, es inversa de) la rotación complementaria 270 ° por 90 °, 180 ° por 180 °, y 90 ° para 270 ° (fíjese que no se define rotación en la dirección opuesta). El test de subgrupo es una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto H de un grupo G sea un subgrupo: basta con comprobar que g -1 h  H para todos los elementos g , h  H .Conocer los subgrupos es importante para entender el grupo globalmente. [nota 5]
Dado cualquier subconjunto S de un grupo G , el subgrupo generado por S consta de productos de elementos de S y sus inversos. Este es el subgrupo más pequeño de G que contiene S . [31] En el ejemplo de más arriba, el subgrupo generado por r 2 if v consta de estos dos elementos, el elemento identidad id y f h = f v • r 2 . Otra vez, esto es un subgrupo, porque combinando dos elementos cualesquiera de estos cuatro o sus inversos (que son, en este caso particular, estos mismos elementos) dan un elemento de este subgrupo.

 


Clases laterales 


En muchas situaciones es deseable considerar dos elementos de grupo como si fueran lo mismo si su diferencia pertenece a un subgrupo dado. Por ejemplo, en D 4 definido más arriba, una vez que se realiza una reflexión, el cuadrado nunca vuelve a la configuración de r 2 aplicando sólo las operaciones de rotación (y no otras reflexiones), es decir las operaciones de rotación son irrelevantes para la cuestión de si se ha realizado una reflexión. Las clases laterales se utilizan para formalizar esta observación: un subgrupo H define clases laterales por la izquierda la derecha, que se pueden entender como traslaciones de H por un grupo g de elementos arbitrario. En términos simbólicos, la clase lateral por la izquierda y por la derecha de H que contienen g son
gH = { gh , h  H } y Hg = { hg , h  H } , respectivamente. [32]
Las clases laterales de cualquier subgrupo H forman una partición de G ; es decir, por ejemplo, dos clases laterales por la izquierda o bien son iguales o bien tienen un intersección vacía y la unión de todas las clases laterales por la izquierda da G. [33] El primer caso (que g 1 H = g 2 H ) se da precisamente cuando g 1 -1 g 2  H , es decir si la diferencia entre los dos elementos es un elemento de H . Consideraciones similares se aplican a las clases laterales de H por la derecha. Las clases laterales de H por la izquierda y por la derecha de H pueden ser iguales o no. Si lo son, es decir para todo g de G ,gH = Hg , entonces se dice que H es un subgrupo normal . Entonces se puede hablar simplemente de N como el conjunto de las clases laterales.
En D 4 , el grupo de simetría empleado en la introducción, las clases laterales por la izquierda gR del subgrupo I que consiste en las rotaciones son o bien iguales a R , si g mismo es un elemento de R , o de otro modo iguales aU = f v R = {f v , f de f h , f c } (sombreado en verde). El subgrupo I también es normal, porque f v R = U = R f v y de forma similar para cualquier elemento diferente de f v .

Grupo cociente 

Además, para poder dejar de prestar atención a la estructura interna de un subgrupo en estudiar sus clases laterales, es deseable dotar a estas entidades de una ley de grupo formando el llamado grupo cociente. Para que esto sea posible, el subgrupo debe ser normal. Dado cualquier subgrupo normal N , el grupo cociente se define por

G / N = { GN , g  G }, " G módulo N ". [34]
R
U
R
R
U
U
U
R
Mesa de la operación de grupo en el cociente D 4 / R .
Este conjunto hereda una operación de grupo (a veces llamada multiplicación de clases laterales, o adición de clases laterales) del grupo original G : ( GN ) • ( HN ) = ( gh ) N para todo g y h de G . Esta definición viene motivada por la idea (esto mismo es un ejemplo de consideraciones estructurales generales mencionadas más arriba) que la función G  G / Nque asocia a cada elemento g su clase lateral GN sea un homomorfismo de grupo, o por consideraciones abstractas generales denominadas propiedades universales . La clase lateral eN = N sirve como la identidad en este grupo (es decir, todos los elementos de la clase se consideran como si fueran uno solo, se identifican), y el inverso de Ng en el grupo cociente es ( GN ) -1 = ( g -1 ) N . [nota 6]
Los elementos del grupo cociente D 4 / R son R mismo, que representa la identidad, y U = f v R .La operación de grupo en el cociente se muestra a la derecha. Por ejemplo, U  U = f v R • f v R = (f v • f v ) R = R . Ambos, tanto el subgrupo R = {id, r 1 , r 2 , r 3 } , como el cociente correspondiente son abelianos, mientras que D 4 no es abeliano. Construir grupos más grandes a partir de otros más pequeños, como el D 4 a partir de su subgrupo I y el cociente D 4 / R se obtiene con una noción llamada producto semidirecto .
El cociente y los subgrupos juntos forman una manera de describir cualquier grupo por su presentación : cualquier grupo es el cociente del grupo libre sobre los generadores del grupo, cociente el subgrupo de relaciones . El grupo diédrico D 4 , por ejemplo, puede ser generado por dos elementos r y f (tales que, como ejemplo, r = r 1 , la rotación hacia la derecha y f = f vla reflexión vertical o alguna otra reflexión) , esto quiere decir que todas las simetrías del cuadrado son una composición finita de estas dos simetrías o sus inversas. Junto con las relaciones
r 4 = f 2 = ( rf ) 2 = 1, [35]
el grupo queda descrito completamente. Una presentación de un grupo también se puede usar para construir el gráfico Cayley , una herramienta utilizada para capturar gráficamente los grupos discretos .
Subgrupos y grupos cociente se relacionan de la siguiente manera: un subconjunto H de G se puede ver como una función inyectiva H  G , es decir cualquier elemento imagen tiene como máximo un elemento antiimagen . La contrapartida a las funciones inyectivas son las funciones exhaustivas (todo elemento del conjunto de llegada es imagen de al menos un elemento del dominio), tales como la aplicación canónica G  G / N . [nota 7] Interpretar los subgrupos y los cocientes a la luz de estos homomorfismos enfatiza el concepto estructural inherente estas definiciones aludidas en la introducción. En general, los homomorfismos no son ni injectius ni exhaustivos. El núcleo y la imagen de los homomorfismos de grupo y el primer teorema de isomorfismo tratan este fenómeno.

Ejemplos y aplicaciones 

Abundan los ejemplos y las aplicaciones de los grupos. Un punto de partida es el grupo Zde los enteros con la adición como operación de grupo, introducida al comienzo. Si en vez de la adición se considera la multiplicación , se obtienen grupos multiplicativos . Estos grupos son predecesores de construcciones importantes en álgebra abstracta .

Los grupos también se aplican en muchas otras áreas matemáticas. Los objetos matemáticos se examinan a menudo asociándose en grupos y estudiando las propiedades de los grupos correspondientes. Por ejemplo, Henri Poincaré fundó lo que ahora se denomina topología algebraica introduciendo el grupo fundamental [36] por medio de esta conexión, las propiedades topológicas como la proximidad y la continuidad se traducen en propiedades de grupos. [nota 8] Por ejemplo, los elementos del grupo fundamental se representan por bucles. La segunda imagen a la derecha muestra algunos bucles dentro de un plano menos un punto. El bucle azul se considera una homotopia nula (y por tanto irrelevante), porque se puede encoger continuamente a un punto. La presencia del agujero impide al bucle naranja ser reducido a un punto. El grupo fundamental del plan con un punto suprimido resulta ser infinito cíclico, generado por el bucle naranja (o cualquier otro bucle enrollando una vez alrededor del agujero). De esta manera, el grupo fundamental detecta el agujero.
En aplicaciones más recientes, la influencia también ha sido a la inversa para obtener construcciones geométricas a partir de una base de teoría de grupos. [nota 9] } En una línea similar, la teoría de grupos geométrica emplea conceptos geométricos, por ejemplo en el estudio de grupos hiperbólicos . [37] Otras ramas que se aplican a los grupos de forma clave incluyen la geometría algebraica y la teoría de números . [38]
Además de las aplicaciones teóricas de encima, existen muchas aplicaciones prácticas de los grupos. La criptografía depende de la combinación del enfoque de teoría de grupos abstracta conjuntamente con el conocimiento algorítmica obtenido en la teoría de grupos computacional , en particular cuando se implementa para grupos finitos. [39] Las aplicaciones de la teoría de grupo no se restringen a las matemáticas; las ciencias como la física, la química y la informática también se benefician del concepto.

 Números 

Muchos tipos de números , como los enteros y los racionales gozan de una estructura de grupo dada de forma natural. En algunos casos, como con los racionales, las operaciones tanto la adición como la multiplicación dan lugar a estructuras de grupo. Estos tipos de números son predecesores de estructuras algebraicas más generales conocidas como anillos y cuerpos .

Enteros 

El grupo de los enteros Z con la adición, notado ( Z , +), se han descrito al comienzo. Los enteros, con la operación de multiplicación en lugar de la adición ( Z , •) n o forman un grupo. Los axiomas de clausura, asociatividad e identidad se satisfacen, pero el elemento inverso no siempre existe: por ejemplo, a = 2 es un entero, pero la única solución a la ecuación a • b = 1 en este caso es b = 1/2, que es un número racional, pero no un entero. Por eso no todos los elementos de Z tienen un inverso (multiplicativo).  La asociatividad y los axiomas de elemento identidad resultan de las propiedades de los enteros. El requisito de clausura todavía vale después de sacar el cero, porque el producto de dos racionales distintos de cero nunca es cero. Finalmente, el inverso de a / b es b / a , por eso el axioma del elemento inverso se satisface.
Los números racionales (incluyendo el 0) también forman un grupo con la adición. Entrelazando operaciones de adición y multiplicación surgen estructuras más complicadas llamadas anillos y si la división es posible, como Q cuerpos, estas estructuras ocupan una posición central en el álgebra abstracta . Pero los elementos de la teoría de grupos fundamentan partes de la teoría de aquellas entidades. [nota 11]

Enteros diferentes de cero módulo un número primo 

Para cualquier número primo p , la aritmética modular provee el grupo multiplicativo de enteros módulo p . [41] Sus elementos son enteros no divisibles por p , considerados módulo p , es decir, dos números se consideran equivalentes si su diferencia es divisible entre p . Por ejemplo, si p = 5 , hay exactamente cuatro elementos en el grupo 1, 2, 3, 4: se excluyen los múltiplos de 5 y el 6 y el -4 son ambos equivalentes a 1 etc. La operación de grupo viene dada por la multiplicación. Pero, 4 • 4 = 1 , porque el producto usual 16 es equivalente a 1, porque 5 es divisor de 16-1 = 15 , notado
16 ≡ 1 ( módulo 5).
El hecho de que p sea un número primo asegura que el producto de dos enteros ninguno de los cuales es divisible por p tampoco es divisible por p , por ello el conjunto indicado de clases es cerrado respecto de la multiplicación. [nota 12] El elemento identidad es 1, como es usual para a un grupo multiplicativo, y la asociatividad procede de la propiedad correspondiente de los enteros. Finalmente, el axioma del elemento inverso exige que dado un entero a no divisible por p , exista un entero b tal que
a  b ≡ 1 (mod p ), es decir p es divisor de la diferencia a  b - 1 .
El elemento inverso b se puede encontrar utilizando la identidad de Bézout y el hecho de que el máximo común divisor mcd ( a , p ) es igual a 1. [42] En el caso p = 5 antes, el inverso de 4 es 4, y el inverso de 3 es 2, dado que3 • 2 = 6 ≡ 1 (mod 5) . Por eso todos los axiomas de grupo se cumplen. De hecho, este ejemplo es similar a ( Q \ {0}, •) de antes, porque resulta ser el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero en el cuerpo finito F p , notado F p × . [43]Estos grupos son esenciales en la criptografía de clave pública . [nota 13]


Grupos cíclicos 


Las 6 raíces complejas de la unidad forman un grupo cíclico. z es un elemento primitivo, pero 2 no n es, porque las potencias impares de z no son potencia de z 2 


Un grupo cíclico es un grupo todos los elementos son potencias (cuando la operación de grupo escribe aditivamente, entonces puede usar el término múltiples ) de un elemento particular en . [44] En notación multiplicativa, los elementos del grupo son:
..., a -3 , a -2 , a -1 , a 0 = e , a , a 2 , a 3 , ...,
donde a 2 significa a  a , y a -3 significa a -1  a -1  a -1 = ( a  a  a ) -1 etc. [nota 14] De un elemento como a se ' n dice un generador o un elemento primitivo del grupo.
Un ejemplo típico para esta clase de grupos es el grupo de raíces complejas enésimas de la unidad , formado por los números complejos z que satisfacen z n = 1 (y la operación de multiplicación). [45] Cualquier grupo cíclico con n elementos es isomorfo a este grupo. Usando la teoría de cuerpos , se puede demostrar que el grupo F p × es cíclico: para p = 5 , 3 es un generador, ya que 3 1 = 3, 3 2 = 9 ≡ 4, 3 3 ≡ 2, y 3 4 ≡ 1. . Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a ( Z , +), el grupo de enteros con la adición presentaban más arriba. [46] Como estos dos prototipos son los dos abelianos, también lo ha de ser cualquier grupo cíclico.
El estudio de los grupos abelianos es bastante maduro, incluyendo el teorema fundamental de grupos abelianos finitamente generados ; y reflejando este estado de asuntos, muchas nociones relacionadas con los grupos, como la de centro de un grupo y la de conmutador , describen hasta qué punto un grupo dado no es abeliano. [47]

Grupos de simetría 


Los grupos de simetría son grupos que constan de simetrías de objetos matemáticos dados que son de naturaleza geométrica, como el grupo de simetría introductorio del cuadrado, o de naturaleza algebraica, como las ecuaciones polinómicas y sus soluciones. [48] Conceptualmente, la teoría de grupos se puede pensar de cómo el estudio de la simetría.[nota 15] Las simetrías matemáticas simplifican en gran medida el estudio de objetos geométricos o analíticos . Se dice que un grupo actúa sobre otro objeto matemático X si todos los elementos del grupo ejecutan alguna operación en X de manera compatible con la ley de grupo. En el ejemplo de debajo de más a la derecha, un elemento de orden 7 del grupo triangular (2,3,7) actúa en el alicatado para permutando los triángulos deformados resaltados (y los demás, también). Por una acción de grupo, el patrón del grupo queda conectado a la estructura del objeto sobre el que actúa.

Rotaciones y reflexiones del grupo de simetría del gran icosaedro 

En los campos de la química, como la cristalografía , la espacio agrupa y los grupos puntuales de simetría describen simetrías moleculares y simetrías cristalinas. Estas simetrías subyacentes al comportamiento físico y químico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite simplificar el análisis en mecánica cuántica de estos propiedades.[50] Por ejemplo, la teoría de grupos se utiliza para mostrar que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados implicados.
No sólo hay grupos útiles para evaluar las implicaciones de las simetrías en moléculas, sino que sorprendentemente también pronostican que las moléculas a veces pueden cambiar la simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una molécula de alta simetría cuando adopta un estado particular de baja simetría a partir desde un conjunto de estados base posibles que se relacionan la una con la otra para las operaciones de simetría de la molécula. [51] [52]
De la misma manera, la teoría de grupos ayuda a pronosticar los cambios en propiedades físicas que ocurren cuando un material sufre un cambio de estado , por ejemplo, de forma cristalina cúbica a una forma cristalina tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroeléctricos , donde el cambio desde un estado paraelèctric a un estado ferroeléctrico sucede a la temperatura de Curie y está relacionado con un cambio desde el estado de paraelèctric de alta simetría hasta el estado de ferroeléctrico de más baja simetría, acompañado por un llamado modo de fonón blando, un modo de enrejado vibracional que pasa por la frecuencia cero a la transición. [53]
Tal ruptura espontánea de la simetría ha encontrado aplicación más allá, en física de partículas elementales, donde su aparición está relacionada con la aparición de bosones de Goldstone .

Los grupos de simetría finitos como los grupos de Mathieu se usan en teoría de códigos , que se aplica en la corrección de errores en los datos transmitidos, y los reproductores de CDs . [54] Otra aplicación es la teoría diferencial de Galois , que caracteriza funciones que tienen primitivas de una forma prescrita, dando criterios teóricos de grupo para cuando las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales tienen soluciones en determinadas formas analíticas. [nota 16] Las propiedades geométricas que permanecen estables bajo acciones de grupo investigan en la teoría de los invariantes geométricos . [56]

Grupo lineal general y teorías de la representación 




Dos vectores (la ilustración de la izquierda) se multiplican por matrices (las ilustraciones del medio la derecha). La ilustración del medio representa una rotación en el sentido de las agujas del reloj de 90 °, mientras que la de más a la derecha estira la coordenada x por un factor de 2.

Los grupos de matrices constan de matrices junto con la multiplicación de matrices . El grupo lineal general GL ( n , R ) consiste en todas las matrices den -por- n invertibles con coeficientes reales . [57] Para referirse a sus subgrupos se habla de grupos de matrices o grupos lineales . El ejemplo de grupo diédrico mencionado más arriba puede ser visto como un (muy pequeño) grupo de matrices. Otro grupo de matrices importante es el grupo ortogonal especial SO( n ). Describe todas las rotaciones posibles en dimensión n . Vía ángulos de Euler , las matrices de rotación se utilizan en informática gráfica . [58]
La teoría de representación es al mismo tiempo una aplicación del concepto de grupo y elemento importante para una comprensión más profunda de los groups. [59] [60] estudia los grupos por sus acciones de grupo sobre otros espacios. Una clase ancha de representaciones de grupo son las representaciones lineales, es decir el grupo está actuando sobre un espacio vectorial , tales como el espacio euclidiano tridimensional R 3 . Una representación de G en un espacio vectorial real n -dimensional es simplemente un homomorfismo de grupo
ρ : G  GL ( n , R )
desde el grupo hasta el grupo lineal general. De este modo, la operación de grupo, que se puede dar de manera abstracta, se traduce en la multiplicación de matrices que lo hacen accesible a cálculos explícitos. [nota 17]
Dada una acción de grupo, esto da otros medios para estudiar el objeto sobre el que se actúa. [nota 18] Por otra parte, también produce información sobre el grupo. Las representaciones de grupo son un principio de organización en la teoría de grupos finitos, Grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos , especialmente grupo (localmente) compactos .[59] [61]

Grupos de Galois 



Los grupos Galois fueron desarrollados para ayudar a resolver ecuaciones polinómicas a base de aprovechar sus características de simetría. [62] [63] Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 vienen dadas por




Intercambiando "+" y "-" en la expresión, es decir permutando las dos soluciones de la ecuación pueden ser vistas como una (muy simple) operación de grupo. Se conocen fórmulas similares para ecuaciones cúbicas y quàrtiques , pero no existen en general para las de grado 5 y superiores. [64] Las propiedades abstractas de los grupos de Galois asociados con polinomios (en particular su resolubilidad ) dan un criterio para saber qué polinomios tienen todas sus soluciones expresables por radicales, es decir soluciones expresables utilizando sólo adición, multiplicación, y raíces similares a la fórmula de arriba. [65]
El problema se puede tratar incluso de forma más pulida utilizando la teoría de cuerpos : considerando el cuerpo de descomposición de un polinomio se transforma el problema en otro del área de la teoría de cuerpos. La teoría Galois moderna generaliza el tipo citado de grupos Galois en extensiones de cuerpos y establece mediante el teorema fundamental de la teoría de Galois una relación precisa entre cuerpos y grupos, subrayando una vez más la ubicuidad de los grupos en matemáticas.


Grupos finitos 


Un grupo se denomina finito si tiene un número finito de elementos . El número de elementos se denomina el orden del grupo G . [66] Una clase importante es la de los grupos simétricos S N , los grupos de permutaciones de N letras. Por ejemplo, el grupo simétrico sobre 3 letras S 3 es el grupo que consta de todas las posibles permutaciones de las tres letras ABC , es decir contiene los elementos ABC , ACB ..., hasta CBA , en total 6 (o 3 factorial ) elementos. Esta clase es fundamental en la medida en que cualquier grupo finito se puede expresar como subgrupo de un grupo simétrico S N para un entero adecuado N ( teorema de Cayley ). En paralelo al grupo de simetrías del cuadrado del comienzo, S 3 también se puede interpretar como el grupo de simetrías de un triángulo equilátero .
El orden de un elemento a un grupo G es el entero positivo más pequeño n tal que a n = e , donde a n representa

es decir aplicar la operación • a n copias de a . (Si • representa la multiplicación, entonces a n corresponde a la potencia nésima de a .) En grupos infinitos, tal n puede no existir, en este caso el orden de a se dice que es infinito. El orden de un elemento es igual al orden del grupo cíclico generado por este elemento.
Técnicas de recuento más sofisticadas, por ejemplo recuento de clases laterales, producen afirmaciones más precisas sobre grupos finitos: El teorema de Lagrange establece que para un grupo finito G del orden de cualquier subgrupo finito H es un divisor de aproximadamente G . Los teoremas de Sylow dan una inversa parcial.
El grupo diédrico (discutido más arriba) es un grupo finito de orden 8. El orden de r 1 es 4, como lo es el orden del subgrupo I que genera (véase más arriba). El orden de los elementos de reflexión f v etc. es 2. Los dos órdenes son divisores de 8, como predice el teorema de Lagrange. Los grupos F p × de encima tienen orden p - 1 .

Clasificación de los grupos simples finitos 


Los matemáticos a menudo se esfuerzan por una clasificación completa (o lista) de una noción matemática. En el contexto de los grupos finitos, este propósito rápidamente conduce a dificultades matemáticas profundas. Según el teorema de Lagrange, los grupos finitos de orden p , un número primo, son grupos necesariamente cíclicos (abelianos) Z p . Los grupos de orden p 2 también se puede demostrar que son abelianos, una afirmación que no se generaliza a la orden p 3 , como el grupo no abeliano D 4 de orden 8 = 2 3 mostrado más arriba. [67] Los sistemas informáticos de álgebra simbólica se pueden utilizar para listar grupos pequeños, pero no hay ninguna clasificación de todos los grupos finitos. [nota 19] Un paso intermedio es la clasificación de grupos simples finitos. [nota 20] Un grupo no trivial llama simple si sus subgrupos normales sólo son el grupo trivial y el propio grupo. [nota 21] El teorema de Jordan-Hölder presenta los grupos simples como los ladrillos de construcción para todos los grupos finitos. [72] Listar todos los grupos simples finitos fue un logro principal en la teoría de grupos contemporánea. El ganador de la Medalla Fields de 1998 Richard Borcherds logró demostrar la conjetura Monstrous moonshine , una relación sorprendente y profunda del " grupo monstruo "(el grupo esporádico simple finito más grande) con ciertas formas modulares , un elemento clásico del análisis complejo , y la teoría de cuerdas , una teoría que si fuera cierta unificaría la descripción de muchos fenómenos físicos. [73]

Grupos con estructura adicional 

Muchos grupos son simultáneamente grupos y ejemplos de otras estructuras matemáticas. En el lenguaje de la teoría de categorías , son objetos de grupo en una categoría , esto quiere decir que son objetos (es decir, ejemplos de otra estructura matemática) que vienen con transformaciones (llamadas morfismos ) que imitan los axiomas de grupo . Por ejemplo, todos los grupos (como los definidos arriba) son también un conjunto, así un grupo es un objeto de grupo en la categoría de conjuntos .


Grupos topológicos 



La circunferencia goniométrica al plano complejo con la multiplicación compleja es un Grupo de Lie y, por ello, un grupo topológico. Es topológico ya que la multiplicación y división complejas son continuas. Es una variedad y por tanto un Grupo de Lie, porque cada entrono , como el arco rojo en el diagrama, se parece a una parte de la recta real (mostrada abajo).


Algunos espacios topológicos pueden dotarse de una ley de grupo. De forma que la ley de grupo y la topología encajen bien, las operaciones de grupo deben ser funciones continuas, es decir, g  h , y g -1 no deben variar repentinamente si g y h varían sólo un poco. Tales grupos se denominan grupos topológicos , y son los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos . [74] Los ejemplos más básicos son los reales R con la adición, ( R \ {0}, •) , y de forma similar con cualquier otro cuerpo topológico como los números complejos o los números de p-ADIC .Todos estos grupos son localmente compactos , por lo tanto tienen medidas Haar y se pueden estudiar mediante el análisis armónico . El primero ofrece un formalismo abstracto de integrales invariantes. Invariante significa en el caso de los números reales, por ejemplo:

para cualquier constante c . Los grupos de matrices sobre estos cuerpos quedan bajo este régimen, como es el caso de los anillos adèlics ii los grupos algebraicos adèlics , que son básicos en teoría de números . [75] Los grupos de Galois de extensiones infinitas de cuerpos como el grupo de Galois absoluto también se pueden equipar con una topología, la llamada topología de Krull , que a su vez es central para generalizar la conexión esbozada más arriba entre los cuerpos y los grupos a las extensiones de cuerpos infinitos. [76] Una generalización avanzada de esta idea, adaptada a las necesidades de la geometría algebraica , es el grupo fundamental de étale . [77]

Grupos de Lie 


Los grupos de Lie (en honor a Sophus Lie ) son grupos que también tienen una estructura de variedad diferenciable , es decir, son espacios que se asemejan localmente un poco al espacio euclidiano de dimensión adecuada. [78] Otra vez, el estructura adicional, aquí la estructura de variedad diferenciable, debe ser compatible, es decir las funciones que corresponden a la multiplicación y la inversa deben ser suaves .
Un ejemplo estándar es el grupo lineal general que se ha presentado arriba: es un subconjunto abierto del espacio de todas las matrices de n -por- n , porque viene dado por la desigualdad
det ( A ) ≠ 0,
donde A denota una matriz de n -por- n . [79]
Los grupos de Lie son de importancia fundamental en física: El teorema de Noether conecta las simetrías continuas con las leyes de conservación . [80] La rotación , así como las traslaciones en el espacio y el tiempo son simetrías básicas de las leyes de el mecánica . Se pueden, por ejemplo, utilizar para construir modelos simples e imponer, digamos, la simetría axial sobre una situación y conducirá típicamente a una simplificación significativa en las ecuaciones que hay que resolver para proporcionar una descripción física. [nota 22] Otro ejemplo son las transformaciones de Lorentz , que relacionan las medidas del tiempo y la velocidad de dos observadores en movimiento relativo uno respecto del otro. Se pueden deducir puramente desde la teoría de grupos, expresando las transformaciones como simetría rotacional del espacio Minkowski . Este espacio sirve en ca la ausencia significativa de gravitación como modelo del espacio-tiempo en relatividad especial . [81] El grupo completo de simetría del espacio de Minkowski, es decir incluyendo traslaciones, es conocido como el grupo de Poincaré .Por lo explicado, tiene un papel fundamental en la relatividad especial y, por implicación, para la teoría cuántica de campos .[82] Las simetrías que varían con la posición son centrales en la descripción moderna de interacciones físicas con ayuda de la teoría de gauge . [83]

Generalizaciones 




Estructuras emparentadas con la de grupo
Totalidad
Asociatividad
neutro
simétrico
Grupo
Monoide
No
Semigrupo
No
No
Bucle
No
Quasigrup
No
No
Magma
No
No
No
Grupoide
No
Categoría
No
No

La tabla de la izquierda da una lista de unas cuantas estructuras que generalizan el concepto de grupo.


En el álgebra abstracta, se definen estructuras más generales relajante algunos de los axiomas que definen un grupo. [27] [84] [85]Por ejemplo, si el requisito de que todos los elementos tengan un inverso elimina, la estructura algebraica que resulta se llama un monoide . Los números naturales N (incluyendo el 0) con la adición forman un monoide, como lo hacen los enteros distintos de cero con la multiplicación ( Z \ {0}, •) , ver más arriba. Hay un método general para añadir formalmente inversa elementos de cualquier monoide (abeliano), muy parecido al mismo camino como( Q \ {0}, •) se obtiene de ( Z \ {0}, •) , conocido como el grupo de Grothendieck . Los grupoides son similares a los grupos excepto que la composición a  b no es necesario que esté definida para todo a y b .
 Surgen en el estudio de formas más complicadas de simetría, a menudo en estructuras   topológicas y   analíticas, como el grupoide fundamental



Notas 



1.                 A Mathematical Reviews salen 3.224 artículos de investigación sobre teoría de grupos y sus generalizaciones escritos durante el año 2005.
2.                 El axioma de clausura ya viene implícito por la condición de que • sea una operación. Por eso algunos autores omiten este axioma. [5]
3.                 Véase, por ejemplo, los libros de Lang (2002, 2005) y Herstein (1996, 1975)
4.                 La palabra homomorfismo proviene de la palabra Griega μός-el mismo y μορφή -estructura.
5.                 Sin embargo, un grupo no está determinado por su enrejado de subgrupos. Véase [30]
6.                    El hecho de que la operación de grupo lo extienda canónicamente es un ejemplo de propiedad universal .
7.                 Las funciones inyectivas y exhaustivas se corresponden respectivamente con Monomorfismo y epimorfismos . Se intercambian al pasar a la categoría dual .
8.                 Véase el teorema de Seifert-van Kampen como ejemplo.
9.                 Un ejemplo es la cohomología de grupo de un grupo que iguala la homología singular de su espacio de clasificación .
10.               La transición de los enteros hacia los racionales a base de añadir las fracciones se generaliza con el cuerpo de fracciones .
11.               Por ejemplo, un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un cuerpo es necesariamente cíclico. Véase Lang  2002 , Theorem IV.1.9 . Las nociones de torsión de un módulo y de álgebra simple son otros ejemplos de este principio.
12.               La propiedad manifestada es una definición posible de números primos. Véase elemento primero .
13.               Por ejemplo, el protocolo Diffie-Hellman hace servir el logaritmo discreto .
14.               La notación aditiva para elementos de un grupo cíclico sería t • a , t de Z .
15.               De forma más rigurosa, todo grupo es el grupo de simetría de algún párrafo , [49]
16.               Más precisamente, se considera la acción de monodromía sobre el espacio vectorial de soluciones de las ecuaciones diferenciales. [55]
17.               Esto fue decisivo para la clasificación de los grupos simples finitos, por ejemplo. [22]
18.               Véase, por ejemplo, el lema de Schur por el impacto de una acción de grupo sobre un módulo simple . Un ejemplo más involucrado es la acción de un grupo de Galois absoluto sobre la cohomología de étale .
19.                 Los grupos de orden como máximo 2000 se conocen. Salvo isomorfismos, hay unos 49 millardos. [68]
20.               El hueco entre la clasificación de los grupos simples y la de todos los grupos radica en el problema de extensión , un problema demasiado duro para ser resuelto en general. [69]
21.               De forma equivalente, un grupo no trivial es imple si sus únicos grupos cocientes son el grupo trivial y el propio grupo. [70] [71]
22.               Véase métrica de Schwarzschild para un ejemplo donde la simetría reduce en gran medida la complejidad de los sistemas físicos.

 eferencias  

1.              Herstein  1975 , § 2, pág. 26
2.              Hall  1967 , § 1.1, pág. 1
"The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
3.              Lang  2005 , AP. 2, pág. 360
4.              Herstein  1975 , § 2.1, pág. 27
5.              Lang 2002 .
6.              Herstein  1975 , § 2.6, pág. 54
7.              Wussing  2007
8.              Kleiner  1986
9.              Smith  1906
10.            Galois  1908
11.            Kleiner  1986 , pág. 202
12.            Cayley  1889
13.            Wussing  2007 , § III.2
14.            Lie  1973
15.            Kleiner  1986 , pág. 204
16.            Wussing  2007 , § I.3.4
17.            Jordan  1870
18.            von Dyck  1882
19.            Curtis  2.003
20.            Mackey  1976
21.            Borel  2001
22.          22,0 22,1 Aschbacher 2004 .
23.            Ledermann  1953 , § 1.2, pág. 4-5
24.            Ledermann  1973 , § I.1, p. 3
25.            Lang  2002 , § I.2, p. 7
26.          ↑ Jump up to:26,0 26,1 Lang  2005 , § II.1, pág.17
27.          ↑ Jump up to:27,0 27,1 Mac Lane  1998
28.            Lang  2005 , § II.3, p. 34
29.            G . Lang  2005 , § II.1, pág. 19
30.            Suzuki 1951. .
31.            Ledermann  1973 , § II.12, pág. 39
32.            Lang  2005 , § II.4, pág. 41
33.            Lang  2002 , § I.2, p. 12
34.            Lang  2005 , § II.4, pág. 45
35.            Lang  2002 , § I.2, p. 9
36.            Hatcher  2002 , Chapter I, pág. 30
37.            Coornaert, Delza & Papadopoulos 1990
38.            for example, class groups andPicard groups ; see Neukirch  1999, in particular § § I.12 and I.13
39.            Seress  1997
40.            Lang 2002 , § II.1, pág. 84.
41.            Lang  2005 , Chapter VII
42.            Rosen  2000 , pág. 54 (Theorem 2.1)
43.            Lang  2005 , § VIII.1, pág. 292
44.            Lang  2005 , § II.1, pág. 22
45.            Lang  2005 , § II.2, p. 26
46.            Lang  2005 , § II.1, pág. 22 (example 11)
47.            Lang  2002 , § I.5, pág. 26, 29
48.            Weyl  1.952
49.            Frucht 1939 .
50.            Conway, Delgado Friedrichs & Huson et al.  2001 . See alsoBishop  1.993
51.            Bersuker , Isaac. The Jahn-Teller Effect . Cambridge University Press, 2006, p. 2. ISBN 0521822122 .
52.            Jahn & Teller  1937
53.            Dove , Martin T. Structure and Dynamics: an atomic view of materiales . Oxford University Press, 2003, p. 265. ISBN 0198506783 .
54.            Welsh  1989
55.            Kuga 1993 , pág. 105-113 ..
56.            Mumford, Fogarty & Kirwan  1994
57.            Lay  2003
58.            Kuipers  1999
59.          ↑ Jump up to:59,0 59,1 Fulton & Harris  1991
60.            Serre  1977
61.            Rudin  1990
62.            Robinson  1996 , p. viii
63.            Artin  1998
64.            Lang  2002 , Chapter VI (see in particular pág. 273 for concrete examples)
65.            Lang  2002 , pág. 292 (Theorem VI.7.2)
66.            Kurzweil & Stellmacher  2004
67.            Artin  1.991 , Theorem 1.6.14 .See also Lang  2,002 , p. 77 for similar results.
68.            Besche, Eick & O'Brien 2001 .
69.            Aschbacher 2004 , pág. 737.
70.            Michl 2006 .
71.            Carter 1989 .
72.            Lang  2002 , § I. 3, pág. 22
73.            Ronan  2007
74.            Husain  1966
75.            Neukirch  1999
76.            Shatz  1.972
77.            Milne  1980
78.            Warner  1983
79.            Borel  1.991
80.            Goldstein  1980
81.            Weinberg  1.972
82.            Naber  2003
83.            Becchi  1997
84.          Denecke & Wismath  2002
85.          Romanowski & Smith  2,002


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Bibliografia:


www.wikipedia.org
Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003.
Nueva Enciclopedia Tematica Grolier 2012
https://www.ecured.cu 


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