Introducción al Álgebra.
Ver Link de descarga al final del Texto
Ver Link de descarga al final del Texto
La
palabra «álgebra» proviene del vocablo árabe الجبر al-ŷabar (en árabe dialectal
por asimilación progresiva se pronunciaba [alŷɛbɾ] de donde derivan los términos de las lenguas europeas),
que se traduce como 'restauración' o 'reponimiento, reintegración'. Deriva del
tratado escrito alrededor del año 820 d.C. por el matemático y astrónomo persa
Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi), titulado Al-kitāb
al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y
comparación), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución
sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Muchos de sus métodos derivan
del desarrollo de la matemática en el islam medieval, destacando la
independencia del álgebra como una disciplina matemática independiente de la
geometría y de la aritmética.
Concepto de número en los pueblos
primitivos (25000-50000 A.C) Medir y contar fueron las primeras actividades
matemáticas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los arboles
lograban, estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número
de animales que poseían; así surgió la Aritmética. El origen del Algebra es
posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto
abstracto del número, base indispensable para la formación de la ciencia
algebraica.
Puede
considerarse al álgebra como el arte de hacer cálculos del mismo modo que en
aritmética, pero con objetos matemáticos no-numéricos.
El
adjetivo «algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por
ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar
una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números
algebraicos, extensión algebraica o expresión algebraica.
Conviene
distinguir entre:
Álgebra elemental es la parte del álgebra
que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas.
Álgebra abstracta es el nombre dado al
estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente.
El
álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de
signos y , mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y
sucesiones de una cantidad infinita de elementos.
Álgebra es la rama de la Matemática que
estudia la cantidad considerada del modo más general posible.
Carácter del
álgebra y su diferencia con la aritmética.
El concepto de la cantidad
en álgebra es mucho mas amplio que en aritmética.
En
aritmética las cantidades se expresan en números y estos expresan valores
determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor
menor o mayor que este habrá que escribir un número distinto de 20.
En álgebra,
para lograr la generalización, las cantidades se representan por
medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa
el valor que nosotros le asignemos, y por lo tanto puede
representar 20 o mas de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene
advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado,
esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del
que le hemos asignado.
Notación
Algebraica
Los símbolos
usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las
letras.
Los números se
emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se
emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.
Las cantidades
conocidas se expresan por la primera letra del alfabeto: a, b, c, d...
Las cantidades
desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v,
w, x, y, z.
Una misma
letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de
comillas; por ejemplo: a’, a’’, a’’’, que se lee a prima, a segunda, a tercera,
o también por medio de subíndices; por ejemplo: variables , que se leen a
sub uno, a subdos, a subtres.
Formulas .
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las
cantidades por medio de letras son las formulasalgebraicas.
Formula
algebraica es la
representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.
Así,
la geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su
base por su altura; luego, llamando A al área del rectángulo, b a
la base, y h a la altura, la formula: A = b x h,
representara de una forma general el aria de cualquier rectángulo, pues el área
de un rectángulo dado se obtendrá con solo sustituir a y h en la formula anterior por
sus valores en el caso dado.
Así,
si la base de un rectángulo es 3m y su altura es 2m, su área será:
A=b x
h = 3m x 2m = 6 m2
El
área de otro rectángulo cuya base fuera 8 m y su altura 3 ½ m sería:
A=b x h = 8m x 312 m
= 28 m2
Signos del
álgebra
Los símbolos empleados en
álgebra son de tres clases: signos de operación , signos de
relación y signos de agrupación.
Signos de
operación.
En algebra se verifican con las
cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: Suma, resta,
multiplicación, división, elevación a potencia y extracción de raíces, que se
indican con los signos siguientes:
El signo
de la suma es +, que se lee más. Así a + b se lee
"a+b".
El signo
de la resta es - que se lee menos. Así a-b se lee "a
menos b".
El signo
de la multiplicación es ×, que se lee multiplicado
por. Así a × b se lee "a multiplicado por b".
En lugar del
signo × suele emplearse un punto entre los factores y también
se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis.
Asi a⋅b y (a)(b) equivalena a a × b.
Entre
factores literales o entre un factor numérico y uno literal el signo de la
multiplicación suele omitirse. Así abc equivale a a × b × c. 5xy equivale a 5 ×
x × y.
El signo
de la división es ÷ que se lee dividido entre. Así a
÷ b se lee “a dividido entre b”. Tambien se indica la división separando el
dividendo y el divisor por una raya horizontal. Así mn equivale
a m ÷ n.
El signo
de la elevación a potencia es el exponente, que es un
número pequeño colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el
cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor
.Así
a3=aaa b3=bbb.
Cuando una
letra no tiene exponte, su exponente es la unidad. Así
a equivale a1; mnx equivale a
m1n1x1.
El signo
de raíz es √, llamado signo radical y bajo este
signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz. Así, a√equivale
a la raíz cuadrada de a, o sea, la cantidad que
elevada al cuadrado reproduce la cantidad a; b√3 equivale
araíz cubica de b, osea la cantidad que elevada al cubo produce la
cantidad b.
Coeficiente
En
el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente
del otro factor. Así, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a
e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a=a+a+a; en el
producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b=b+b+b+b+b. Estos
son coeficientes numéricos.
En
el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor
b se toma como sumando a veces, o sea ab=b+b+b+b…a veces. Este es un
coeficiente literal. En el producto de más de dos factores, uno o varios de
ellos son el coeficiente de los restantes. Así, en el producto abcd, a es el
coeficiente de bcd; ab es el coeficiente de cd; abc es el coeficiente de d.
Cuando
una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. Así, b
equivale a 1b; abc equivale a 1abc.
Los
signos de agrupación son:
- Paréntesis
ordinario ( )
- Paréntesis
angular o corchete [ ]
- Las llaves { } y
la barra o vínculos ----
Estos
signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.
Así, (a + b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse
por c;[a – b] m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m;
{a + b} ÷ {c – d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia
de c y d.
Adalid Diez, Martha - Fundamentos de Álgebra
Adalid Diez, Martha - Fundamentos de Álgebra
-------------------------------------------------- -------------------- ------------------------
Bibliografia:
Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2009.
Nueva Enciclopedia Tematica Grolier 2012
https://www.ecured.cu
www.wikipedia.org
-------------------------- -----------------------
No hay comentarios:
Publicar un comentario