Conceptos básicos de la Teoría de Grupos Resumen

Conceptos básicos de la Teoría de Grupos

Introducción a la teoría de grupos

--------------------------  -----------------------

1. Conceptos básicos de la Teoría de Grupos  

1. Conceptos básicos de la Teoría de Grupos

1.1 Definición de grupo

Introducción a la teoría de grupos

En matemáticas, la teoría de grupos estudia los grupos.

 Un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. 

Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa , tener elemento identidad y elemento inverso . Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas , como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. Esto permite, en álgebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras se conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos. La ubicuidad de los grupos en numerosas áreas (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se organizan las matemáticas contemporáneas. [1] [2]

Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría . Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico : consiste en el conjunto de transformaciones que dejan inalterado el objeto, y la operación de combinar dos de estas transformaciones realizando una después de la otra. Tales grupos de simetría, especialmente los Grupos de Lie continuos, tienen un papel importante en muchas disciplinas académicas. Los grupos de matrices , por ejemplo, se pueden utilizar para entender las leyes físicas fundamentales en que se basan la relatividad y los fenómenos de simetría en la química molecular.

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuaciones polinómicas, comenzando con Évariste Galois durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. La moderna teoría de grupos (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos per se. [nota 1] para explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones dividir grupos en trozos más pequeños, más comprensibles, como subgrupos , grupos cociente y grupos simples . Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras diferentes en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus representaciones de grupo ), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional . Una teoría especialmente rica se ha desarrollado para grupos finitos, que culminó con la clasificación de los grupos simples finitos completada en 1983.

Definición e ilustración 

Primer ejemplo: los enteros 

Uno de los grupos más familiar es el conjunto de los números enteros Z que consiste en los números

..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .. . [3]

Las propiedades de la adición de enteros sirven como modelo para los axiomas de grupo abstractas que se dan en la definición de más abajo.

1.     Para cualquier par de enteros a y b , la suma a + b es también un entero. En otras palabras, el proceso de adición de enteros dos a la vez nunca puede producir un resultado que no sea un entero. Esta propiedad se conoce como clausura respecto la adición.

2.     Para todos los enteros a , b y c , ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Expresado en palabras, sumando primero a y b , y entonces sumando el resultado con c da el mismo resultado final que sumando a al resultado de sumar b y c , esta propiedad se conoce como propiedad asociativa .

3.     Si a es un entero cualquiera, entonces 0 + a = a + 0 = a . Del cero se dice que es el elemento identidad de la adición porque en sumarlo a cualquier entero da el mismo entero.

4.     Para cada entero a , hay un entero b tal que a + b = b + a = 0. El entero b se llama el elemento inverso del entero a y se nota - a .

Definición 

Los enteros, junto con la operación "+", forman un objeto matemático que pertenece a una clase basta en la que hay otros objetos que comparten aspectos estructurales similares. Para entender apropiadamente estas estructuras sin tratar con cada caso concreto por separado, se desarrolla la definición abstracta siguiente que incluye el ejemplo citado junto con muchos otros, uno de los cuales es el grupo de simetría detallado más abajo.

Un grupo es un conjunto , G , conjuntamente con una operación binaria "•" que combina dos elementos cualesquiera a y bde G para formar otro elemento notado a • b . El símbolo "•" es un elemento general para representar una operación concretamente dada cualquiera, tales como la adición de más arriba. Para poder calificar como un grupo, el conjunto y la operación ( G , •) , deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas de grupo : [4]

1.	Clausura.	Para todo a , b de G , el resultado de la operación a • b también pertenece a G . [nota 2]
2.	Propiedad asociativa.	Para todos a , b y c de G , se cumple la ecuación ( a • b ) • c = a • ( b • c ).
3.	Elemento identidad.	Existe un elemento e de G , tal que para todos los elementos a de G , se cumple la ecuación e • a = a • e = a .
4.	Elemento inverso.	Para todo a de G , existe un elemento b de G tal que a • b = b • a = e , donde e es el elemento identidad.

El orden en el que se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras palabras, el resultado de operar el elemento a con el elemento b no debe dar necesariamente el mismo que operando b con a ; la ecuación

a • b = b • a

puede no ser siempre cierta. Esta ecuación siempre se cumple al grupo de enteros con la adición, porque a + b = b + apara dos enteros cualesquiera ( propiedad conmutativa de la adición). Sin embargo, no se cumple siempre en el grupo de simetría de más abajo. De los grupos para los que la ecuación a • b = b • a se cumple siempre llaman abelianos (en honor a Niels Abel ). Así, el grupo de los enteros con la adición es abeliano, pero el grupo de simetría siguiente no lo es.

Segundo ejemplo: un grupo de simetría 

Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones ) de un cuadrado forman un grupo llamado un grupo diédrico , y se nota D ₄ . [6]  Tiene las siguientes simetrías:

·         La operación identidad que lo deja todo como estaba, notada id;

·         rotaciones del cuadrado de 90 ° a la derecha, 180 ° a la derecha, y 270 ° a la derecha, notadas r ₁ , r ₂ yr ₃ , respectivamente;

·         reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (f _v if _h ), o respecto de las dos diagonales (f _d if _c ).

Dos simetrías cualesquiera a y b se pueden componer, es decir aplicar una después de la otra. El resultado de hacer primero a y entonces b se escribe simbólicamente de izquierda a derecha como

b • a ("aplique la simetría b después de haber aplicado la simetría a ". La notación de derecha a izquierda proviene de la notación para la composición de funciones ).

La tabla de grupo a la derecha presenta los resultados de todas las composiciones posibles. Por ejemplo, girar 270 ° a la derecha (r ₃ ) y entonces hacer una reflexión horizontal (fh) es lo mismo que hacer una reflexión a lo largo de la diagonal (fd). Utilizando los símbolos citados, sombreado en azul en la tabla de grupo:

f _h • r ₃ = f _d .

Dados este conjunto de simetrías y la operación descrita, los axiomas de grupo se pueden entender de la siguiente manera:

1. El axioma de clausura pide que la composición b • a de dos simetrías cualesquiera a y b sea también una simetría. Otro ejemplo para la operación de grupo es

r ₃ • f _h = f _c ,

es decir girando 270 ° a la derecha después de una reflexión horizontal es igual a una reflexión a lo largo de la contradiagonal (f _c ).En efecto cada dos combinaciones de dos simetrías dan una simetría, como se puede comprobar utilizando la tabla de grupo.

2. La condición de asociatividad trata con compuso más de dos simetrías: dados tres elementos a , b y c de D ₄ , hay dos maneras posibles de calcular " a entonces b entonces c ". El requisito

( a • b ) • c = a • ( b • c )

quiere decir que la composición de los tres elementos es independiente de la prioridad de las operaciones, es decir, componente a con b , y luego c con a • b equivale a hacer a después de la composición de b y c . Por ejemplo (f _de • f _v ) • r ₂ = f _d • (f _v • r ₂ )como se puede comprobar utilizando la tabla de grupo de la derecha

(F d • f v ) • r 2	=	r 3 • r 2	=	r 1 , que es igual a
f d • (f v • r 2 )	=	f de • f h	=	r 1 .

3. El elemento identidad es la simetría id que lo deja todo inalterado: para cualquier simetría a , realizando id tras a (o en tras yd) es igual a a , de forma simbólica,

id • a = a ,

a • id = a .

4. Un elemento inverso deshace la transformación de algún otro elemento. Todas las simetrías se pueden deshacer: cada una de las transformaciones: id, f _h , f _v , f _de f _c yr ₂ son su propia inversa, porque actuando cada una dos veces lleva el cuadrado a su orientación original. Las rotaciones r ₃ yr ₁ son la inversa una de la otra, porque girando hacia un lado y entonces el mismo ángulo preciso en el otro lado deja al cuadrado inalterado. En símbolos,

f _h • f _h = id,

r ₃ • r ₁ = r ₁ • r ₃ = id.

A diferencia con el grupo de enteros de encima, donde el orden de la operación es irrelevante, en D ₄ sí importa: f _h • r ₁ = f _c pero r ₁ • f _h = f _d . En otras palabras, D ₄ no es abeliano, esto hace la estructura del grupo más difícil que la de los enteros presentada antes.

Historia 

El concepto moderno de grupo abstracto se desarrolló a través de varios campos de las matemáticas La motivación original para el desarrollo de la teoría de grupos fue el buscar soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a 4.El matemático francés del siglo XIX Évariste Galois , extendiendo el trabajo previo de Paolo Ruffini y Joseph-Louis Lagrange, dio un criterio para la resolubilidad de una ecuación polinómica particular en términos del grupo de simetría de sus raíces(soluciones). Los elementos de este grupo de Galois corresponden a ciertas permutaciones de las raíces. Al principio, las ideas de Galois fueron rechazadas por sus contemporáneos, y se publicaron sólo póstumamente. ^[10] [11] Más en general los grupos de permutaciones fueron investigados en particular para Augustin Louis Cauchy . Arthur Cayley a la abre Sobre la teoría de grupos que dependen de la ecuación simbólica θ ⁿ = 1 ( 1854 ) da la primera definición abstracta de un grupo finito . ^[12]

La geometría fue el segundo campo en el que los grupos se utilizaron sistemáticamente, especialmente los grupos de simetría como parte del programa Erlangen de Felix Klein de 1872. ^[13] Después de que emergieran nuevas geometrías como la hiperbólica y la geometría proyectiva , Klein usaba la teoría de grupos para organizarse de una manera más coherente. Avanzando más estas ideas, Sophus Lie fundaba el estudio de los Grupos de Lie el 1884 . ^[14]

El tercer campo que contribuyó a la teoría de grupos fue la teoría de números . Ciertas estructuras de grupo abelianohabían sido utilizadas implícitamente en el trabajo teórico sobre números de Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Arithmeticae ( 1798 ), y más explícitamente por Leopold Kronecker . ^[15] El 1847 , Ernst Kummer llevaba los primeros intentos de demostrar el último teorema de Fermat a un clímax desarrollando grupos que describen la factorización ennúmeros primos . ^[16]

La convergencia de estas diversas fuentes a una teoría uniforme de grupos comenzaba con el Traité des sustituciones et des ecuaciones algebraicas de Camille Jordan el 1870 . ^[17] Walther von Dyck ( 1882 ) dio la primera definición moderna de un grupo abstracto. ^[18] A partir del siglo XX , los grupos ganaron amplio reconocimiento por el trabajo pionero de Ferdinand Georg Frobenius y William Burnside , que trabajaron en la teoría de la representación de grupos finitos, la teoría de representación modular de Richard Brauer y los artículos de Issai Schur . ^[19] La teoría de Grupos de Lie, y más generalmente de grupos localmente compactos , fue empujada por Hermann Weyl , Élie Cartan y muchos otros. ^[20] Su homólogo algebraico, la teoría de grupos algebraicos , va fue formulada inicialmente por Claude Chevalley (desde finales de los años 1930) y posteriormente por el trabajo fundamental de Armand Borel y Jacques Tits . ^[21]

El año de Teoría de Grupos 1960-61 de la Universidad de Chicago reunió teóricos de grupos como Daniel Gorenstein ,John G. Thompson y Walter Feit , estableciendo la fundación de una colaboración que, con aportaciones de otros matemáticos numerosos , clasificó todos los grupos simples finitos el 1982 . Este proyecto excedió todos los esfuerzos matemáticos previos por su tamaño enorme, tanto en cuanto a la longitud de la demostración como al número de investigadores. La investigación para simplificar la demostración de esta clasificación aún está en desarrollo. ^[22] Hoy en día, la teoría de grupos es todavía una rama matemática altamente activa que impacta de forma esencial en muchos otros campos. ^{[nota 1]}

Consecuencias sencillas de los axiomas de grupo 

Los hechos básicos sobre todos los grupos que se pueden obtener directamente de los axiomas de grupo se incluyen comúnmente en la teoría elemental de grupos . ^[23] por Ejemplo, el aplicación repetida del axioma de asociatividad demuestran que la no ambigüedad de

a • b • c = ( a • b ) • c = a • ( b • c )

se generaliza a más de tres factores. Para que esto implica que los paréntesis se puden introducir en cualquier lugar dentro de la serie de términos, los paréntesis normalmente se omiten. ^[24]

Los axiomas se pueden debilitar y afirmar solamente la existencia de un elemento neutro y un elemento inverso por la izquierda. Se puede demostrar que los dos deben ser de hecho por los dos lados, así la definición que resulta es equivalente a la que se ha dado más arriba. ^[25]

Unicidad de los elemento identidad e inverso 

Dos consecuencias importantes de los axiomas de grupo son la unicidad del elemento identidad y la unicidad de los elementos inversos. Sólo puede haber un elemento identidad en un grupo, y cada elemento de un grupo tiene exactamente un elemento inverso. Así, es normal hablar de el elemento identidad, y el elemento inverso de un elemento. ^[26]

Para demostrar la unicidad de un elemento inverso de a , se supone que un a tiene dos inversos, notados en y r . Entonces

l	=	l • e		dado que e es el elemento identidad
	=	l • ( a • r )		porque r es un elemento inverso de a , por lo tanto e = a • r
	=	( l • a ) • r		por asociatividad, que permite reordenar los paréntesis
	=	e • r		dado que el es un elemento inverso de a , se s decir el • a = e
	=	r		porque e es el elemento identidad

Aquí, los dos elementos extremos del y r están conectados por una cadena de igualdades, por lo tanto son lo mismo. En otras palabras sólo hay un elemento inverso de a .

División 

En grupos, es posible realizar la división : dados dos elementos a y b del grupo G , hay exactamente un x solución a G de xal ecuación . x • a = b . ^[26] De hecho, multiplicando por la derecha los dos términos de la ecuación para a ^-1 da la solución x = x • a • a ^-1 = b • a ^-1 . De forma similar hay exactamente un y solución a G de la ecuación a • y = b , es decir y = a ^-1 . En general, x y y no necesariamente tienen que coincidir.

Cuenta con el significado de la palabra división . Se trata de la operación inversa de la operación de grupo, como la operación de grupo normalmente se nota como multiplicación es normal llamar su inversa división. Pero, por ejemplo, en el caso del grupo de los números enteros con la suma, la operación inversa es el resto.

Conceptos básicos 

Las secciones siguientes utilizan símbolos matemáticos como X = { x , y , z } para denotar un conjunto X que contiene los elementos x, y, y z, o alternativamente x ∈ X para afirmar que x es un elemento de X. La notación f : X → Y significa que f es una función que asigna a cada elemento de X un elemento de Y.

Para entender los grupos más allá del nivel de meras manipulaciones simbólicas como las de arriba, deben emplearse más conceptos estructurales. ^{[nota 3]} Hay un principio conceptual subyacente a todas las nociones que siguen: aprovechar la estructura ofrecida por grupos (que por ejemplo los conjuntos en ser "sin estructura" no tienen) las construcciones relacionadas con los grupos deben ser compatibles con la operación de grupo. Esta compatibilidad se manifiesta en las nociones siguientes de varias maneras. Por ejemplo, los grupos se pueden relacionar el uno con el otro mediante funciones llamadas homomorfismos de grupo. Por el principio mencionado, se exige que respeten las estructuras de grupo en un sentido preciso. La estructura de los grupos también se puede entender dividiéndolos en fragmentos denominados subgrupos y grupos cociente. El principio de "conservar estructura"-un tema que se repite en matemáticas por todas partes-es un ejemplo de trabajar en una categoría , en este caso la categoría de grupos . ^[27]

Homomorfismos de grupo 

Los homomorfismos de grupo ^{[nota 4]} son las funciones que conservan la estructura del grupo. Una función a : G → H entre dos grupos es un homomorfismo si la ecuación

a ( g • k ) = a ( g ) • a ( k ).

se cumple para todos los elementos g , k de G , es decir el resultado es el mismo tanto si se hace la operación de grupo antes como si se hace después de aplicar la función a . Este requisito asegura que en (1 _G ) = 1 _H , y también que a ( g ) ^-1 = a ( g ^-1 ) para todo g de G . Así un homomorfismo de grupo respeta toda la estructura de G proporcionada por los axiomas de grupo. ^[28]

Dos grupos G y H se llaman isomorfos si existen homomorfismos de grupo a : G → H y b : H → G , tales que aplicando las dos funciones una después de la otra (en cada uno de los dos órdenes posibles) dan la función identidad de G y H , respectivamente. Es decir, a ( b ( h )) = h y b ( a ( g )) = g para cualquier g de G y h de H . Desde un punto de vista abstracto, los grupos isomorfos conllevan la misma información. Por ejemplo, demuestran r que g • g = 1 para algún elemento g de G es equivalente a demostrar que a ( g ) • a ( g ) = 1 , porque aplicando a la primera igualdad da la segunda, y aplicando b en la segunda da otra vez la primera.

Subgrupos 

Informalmente, un subgrupo es un grupo H contenido dentro de un grupo más grande, ^[29] Concretamente, el elemento identidad de G está contenido en H , y siempre que h ₁ y h ₂ sean de H , entonces también lo serán h ₁ • h ₂ y h ₁ ^-1 , así los elementos de H , equipado con la operación de grupo en G restringida a H , forman un grupo.

En el ejemplo de arriba, la identidad y las rotaciones constituyen un subgrupo R = {id, r ₁ , r ₂ , r ₃ } , sombreado en rojo en la tabla de grupo de arriba: dos rotaciones cualesquiera compuestas son también una rotación , y una rotación se puede deshacer por (es decir, es inversa de) la rotación complementaria 270 ° por 90 °, 180 ° por 180 °, y 90 ° para 270 ° (fíjese que no se define rotación en la dirección opuesta). El test de subgrupo es una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto H de un grupo G sea un subgrupo: basta con comprobar que g ^-1 h ∈ H para todos los elementos g , h ∈ H .Conocer los subgrupos es importante para entender el grupo globalmente. ^{[nota 5]}

Dado cualquier subconjunto S de un grupo G , el subgrupo generado por S consta de productos de elementos de S y sus inversos. Este es el subgrupo más pequeño de G que contiene S . ^[31] En el ejemplo de más arriba, el subgrupo generado por r ₂ if _v consta de estos dos elementos, el elemento identidad id y f _h = f _v • r ₂ . Otra vez, esto es un subgrupo, porque combinando dos elementos cualesquiera de estos cuatro o sus inversos (que son, en este caso particular, estos mismos elementos) dan un elemento de este subgrupo.

 

Clases laterales 

En muchas situaciones es deseable considerar dos elementos de grupo como si fueran lo mismo si su diferencia pertenece a un subgrupo dado. Por ejemplo, en D ₄ definido más arriba, una vez que se realiza una reflexión, el cuadrado nunca vuelve a la configuración de r ₂ aplicando sólo las operaciones de rotación (y no otras reflexiones), es decir las operaciones de rotación son irrelevantes para la cuestión de si se ha realizado una reflexión. Las clases laterales se utilizan para formalizar esta observación: un subgrupo H define clases laterales por la izquierda la derecha, que se pueden entender como traslaciones de H por un grupo g de elementos arbitrario. En términos simbólicos, la clase lateral por la izquierda y por la derecha de H que contienen g son

gH = { gh , h ∈ H } y Hg = { hg , h ∈ H } , respectivamente. ^[32]

Las clases laterales de cualquier subgrupo H forman una partición de G ; es decir, por ejemplo, dos clases laterales por la izquierda o bien son iguales o bien tienen un intersección vacía y la unión de todas las clases laterales por la izquierda da G. ^[33] El primer caso (que g ₁ H = g ₂ H ) se da precisamente cuando g ₁ ^-1 g ₂ ∈ H , es decir si la diferencia entre los dos elementos es un elemento de H . Consideraciones similares se aplican a las clases laterales de H por la derecha. Las clases laterales de H por la izquierda y por la derecha de H pueden ser iguales o no. Si lo son, es decir para todo g de G ,gH = Hg , entonces se dice que H es un subgrupo normal . Entonces se puede hablar simplemente de N como el conjunto de las clases laterales.

En D ₄ , el grupo de simetría empleado en la introducción, las clases laterales por la izquierda gR del subgrupo I que consiste en las rotaciones son o bien iguales a R , si g mismo es un elemento de R , o de otro modo iguales aU = f _v R = {f _v , f _de f _h , f _c } (sombreado en verde). El subgrupo I también es normal, porque f _v R = U = R f _v y de forma similar para cualquier elemento diferente de f _v .

Grupo cociente 

Además, para poder dejar de prestar atención a la estructura interna de un subgrupo en estudiar sus clases laterales, es deseable dotar a estas entidades de una ley de grupo formando el llamado grupo cociente. Para que esto sea posible, el subgrupo debe ser normal. Dado cualquier subgrupo normal N , el grupo cociente se define por

G / N = { GN , g ∈ G }, " G módulo N ". ^[34]

•	R	U
R	R	U
U	U	R
Mesa de la operación de grupo en el cociente D 4 / R .

Este conjunto hereda una operación de grupo (a veces llamada multiplicación de clases laterales, o adición de clases laterales) del grupo original G : ( GN ) • ( HN ) = ( gh ) N para todo g y h de G . Esta definición viene motivada por la idea (esto mismo es un ejemplo de consideraciones estructurales generales mencionadas más arriba) que la función G → G / Nque asocia a cada elemento g su clase lateral GN sea un homomorfismo de grupo, o por consideraciones abstractas generales denominadas propiedades universales . La clase lateral eN = N sirve como la identidad en este grupo (es decir, todos los elementos de la clase se consideran como si fueran uno solo, se identifican), y el inverso de Ng en el grupo cociente es ( GN ) ^-1 = ( g ^-1 ) N . ^{[nota 6]}

Los elementos del grupo cociente D ₄ / R son R mismo, que representa la identidad, y U = f _v R .La operación de grupo en el cociente se muestra a la derecha. Por ejemplo, U • U = f _v R • f _v R = (f _v • f _v ) R = R . Ambos, tanto el subgrupo R = {id, r ₁ , r ₂ , r ₃ } , como el cociente correspondiente son abelianos, mientras que D ₄ no es abeliano. Construir grupos más grandes a partir de otros más pequeños, como el D ₄ a partir de su subgrupo I y el cociente D ₄ / R se obtiene con una noción llamada producto semidirecto .

El cociente y los subgrupos juntos forman una manera de describir cualquier grupo por su presentación : cualquier grupo es el cociente del grupo libre sobre los generadores del grupo, cociente el subgrupo de relaciones . El grupo diédrico D ₄ , por ejemplo, puede ser generado por dos elementos r y f (tales que, como ejemplo, r = r ₁ , la rotación hacia la derecha y f = f _vla reflexión vertical o alguna otra reflexión) , esto quiere decir que todas las simetrías del cuadrado son una composición finita de estas dos simetrías o sus inversas. Junto con las relaciones

r ⁴ = f ² = ( rf ) ² = 1, ^[35]

el grupo queda descrito completamente. Una presentación de un grupo también se puede usar para construir el gráfico Cayley , una herramienta utilizada para capturar gráficamente los grupos discretos .

Subgrupos y grupos cociente se relacionan de la siguiente manera: un subconjunto H de G se puede ver como una función inyectiva H → G , es decir cualquier elemento imagen tiene como máximo un elemento antiimagen . La contrapartida a las funciones inyectivas son las funciones exhaustivas (todo elemento del conjunto de llegada es imagen de al menos un elemento del dominio), tales como la aplicación canónica G → G / N . ^{[nota 7]} Interpretar los subgrupos y los cocientes a la luz de estos homomorfismos enfatiza el concepto estructural inherente estas definiciones aludidas en la introducción. En general, los homomorfismos no son ni injectius ni exhaustivos. El núcleo y la imagen de los homomorfismos de grupo y el primer teorema de isomorfismo tratan este fenómeno.

Ejemplos y aplicaciones 

Abundan los ejemplos y las aplicaciones de los grupos. Un punto de partida es el grupo Zde los enteros con la adición como operación de grupo, introducida al comienzo. Si en vez de la adición se considera la multiplicación , se obtienen grupos multiplicativos . Estos grupos son predecesores de construcciones importantes en álgebra abstracta .

Los grupos también se aplican en muchas otras áreas matemáticas. Los objetos matemáticos se examinan a menudo asociándose en grupos y estudiando las propiedades de los grupos correspondientes. Por ejemplo, Henri Poincaré fundó lo que ahora se denomina topología algebraica introduciendo el grupo fundamental ^[36] por medio de esta conexión, las propiedades topológicas como la proximidad y la continuidad se traducen en propiedades de grupos. ^{[nota 8]} Por ejemplo, los elementos del grupo fundamental se representan por bucles. La segunda imagen a la derecha muestra algunos bucles dentro de un plano menos un punto. El bucle azul se considera una homotopia nula (y por tanto irrelevante), porque se puede encoger continuamente a un punto. La presencia del agujero impide al bucle naranja ser reducido a un punto. El grupo fundamental del plan con un punto suprimido resulta ser infinito cíclico, generado por el bucle naranja (o cualquier otro bucle enrollando una vez alrededor del agujero). De esta manera, el grupo fundamental detecta el agujero.

En aplicaciones más recientes, la influencia también ha sido a la inversa para obtener construcciones geométricas a partir de una base de teoría de grupos. ^{[nota 9]} } En una línea similar, la teoría de grupos geométrica emplea conceptos geométricos, por ejemplo en el estudio de grupos hiperbólicos . ^[37] Otras ramas que se aplican a los grupos de forma clave incluyen la geometría algebraica y la teoría de números . ^[38]

Además de las aplicaciones teóricas de encima, existen muchas aplicaciones prácticas de los grupos. La criptografía depende de la combinación del enfoque de teoría de grupos abstracta conjuntamente con el conocimiento algorítmica obtenido en la teoría de grupos computacional , en particular cuando se implementa para grupos finitos. ^[39] Las aplicaciones de la teoría de grupo no se restringen a las matemáticas; las ciencias como la física, la química y la informática también se benefician del concepto.

 Números 

Muchos tipos de números , como los enteros y los racionales gozan de una estructura de grupo dada de forma natural. En algunos casos, como con los racionales, las operaciones tanto la adición como la multiplicación dan lugar a estructuras de grupo. Estos tipos de números son predecesores de estructuras algebraicas más generales conocidas como anillos y cuerpos .

Enteros 

El grupo de los enteros Z con la adición, notado ( Z , +), se han descrito al comienzo. Los enteros, con la operación de multiplicación en lugar de la adición ( Z , •) n o forman un grupo. Los axiomas de clausura, asociatividad e identidad se satisfacen, pero el elemento inverso no siempre existe: por ejemplo, a = 2 es un entero, pero la única solución a la ecuación a • b = 1 en este caso es b = 1/2, que es un número racional, pero no un entero. Por eso no todos los elementos de Z tienen un inverso (multiplicativo).  La asociatividad y los axiomas de elemento identidad resultan de las propiedades de los enteros. El requisito de clausura todavía vale después de sacar el cero, porque el producto de dos racionales distintos de cero nunca es cero. Finalmente, el inverso de a / b es b / a , por eso el axioma del elemento inverso se satisface.

Los números racionales (incluyendo el 0) también forman un grupo con la adición. Entrelazando operaciones de adición y multiplicación surgen estructuras más complicadas llamadas anillos y si la división es posible, como Q cuerpos, estas estructuras ocupan una posición central en el álgebra abstracta . Pero los elementos de la teoría de grupos fundamentan partes de la teoría de aquellas entidades. ^{[nota 11]}

Enteros diferentes de cero módulo un número primo 

Para cualquier número primo p , la aritmética modular provee el grupo multiplicativo de enteros módulo p . ^[41] Sus elementos son enteros no divisibles por p , considerados módulo p , es decir, dos números se consideran equivalentes si su diferencia es divisible entre p . Por ejemplo, si p = 5 , hay exactamente cuatro elementos en el grupo 1, 2, 3, 4: se excluyen los múltiplos de 5 y el 6 y el -4 son ambos equivalentes a 1 etc. La operación de grupo viene dada por la multiplicación. Pero, 4 • 4 = 1 , porque el producto usual 16 es equivalente a 1, porque 5 es divisor de 16-1 = 15 , notado

16 ≡ 1 ( módulo 5).

El hecho de que p sea un número primo asegura que el producto de dos enteros ninguno de los cuales es divisible por p tampoco es divisible por p , por ello el conjunto indicado de clases es cerrado respecto de la multiplicación. ^{[nota 12]} El elemento identidad es 1, como es usual para a un grupo multiplicativo, y la asociatividad procede de la propiedad correspondiente de los enteros. Finalmente, el axioma del elemento inverso exige que dado un entero a no divisible por p , exista un entero b tal que

a • b ≡ 1 (mod p ), es decir p es divisor de la diferencia a • b - 1 .

El elemento inverso b se puede encontrar utilizando la identidad de Bézout y el hecho de que el máximo común divisor mcd ( a , p ) es igual a 1. ^[42] En el caso p = 5 antes, el inverso de 4 es 4, y el inverso de 3 es 2, dado que3 • 2 = 6 ≡ 1 (mod 5) . Por eso todos los axiomas de grupo se cumplen. De hecho, este ejemplo es similar a ( Q \ {0}, •) de antes, porque resulta ser el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero en el cuerpo finito F _p , notado F _p ^× . ^[43]Estos grupos son esenciales en la criptografía de clave pública . ^{[nota 13]}

Grupos cíclicos 

Las 6 raíces complejas de la unidad forman un grupo cíclico. z es un elemento primitivo, pero z ² no n es, porque las potencias impares de z no son potencia de z ² 

Un grupo cíclico es un grupo todos los elementos son potencias (cuando la operación de grupo escribe aditivamente, entonces puede usar el término múltiples ) de un elemento particular en . ^[44] En notación multiplicativa, los elementos del grupo son:

..., a ^-3 , a ^-2 , a ^-1 , a ⁰ = e , a , a ² , a ³ , ...,

donde a ² significa a • a , y a ^-3 significa a ^-1 • a ^-1 • a ^-1 = ( a • a • a ) ^-1 etc. ^{[nota 14]} De un elemento como a se ' n dice un generador o un elemento primitivo del grupo.

Un ejemplo típico para esta clase de grupos es el grupo de raíces complejas enésimas de la unidad , formado por los números complejos z que satisfacen z ⁿ = 1 (y la operación de multiplicación). ^[45] Cualquier grupo cíclico con n elementos es isomorfo a este grupo. Usando la teoría de cuerpos , se puede demostrar que el grupo F _p ^× es cíclico: para p = 5 , 3 es un generador, ya que 3 ¹ = 3, 3 ² = 9 ≡ 4, 3 ³ ≡ 2, y 3 ⁴ ≡ 1. . Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a ( Z , +), el grupo de enteros con la adición presentaban más arriba. ^[46] Como estos dos prototipos son los dos abelianos, también lo ha de ser cualquier grupo cíclico.

El estudio de los grupos abelianos es bastante maduro, incluyendo el teorema fundamental de grupos abelianos finitamente generados ; y reflejando este estado de asuntos, muchas nociones relacionadas con los grupos, como la de centro de un grupo y la de conmutador , describen hasta qué punto un grupo dado no es abeliano. ^[47]

Grupos de simetría 

Los grupos de simetría son grupos que constan de simetrías de objetos matemáticos dados que son de naturaleza geométrica, como el grupo de simetría introductorio del cuadrado, o de naturaleza algebraica, como las ecuaciones polinómicas y sus soluciones. ^[48] Conceptualmente, la teoría de grupos se puede pensar de cómo el estudio de la simetría.^{[nota 15]} Las simetrías matemáticas simplifican en gran medida el estudio de objetos geométricos o analíticos . Se dice que un grupo actúa sobre otro objeto matemático X si todos los elementos del grupo ejecutan alguna operación en X de manera compatible con la ley de grupo. En el ejemplo de debajo de más a la derecha, un elemento de orden 7 del grupo triangular (2,3,7) actúa en el alicatado para permutando los triángulos deformados resaltados (y los demás, también). Por una acción de grupo, el patrón del grupo queda conectado a la estructura del objeto sobre el que actúa.

Rotaciones y reflexiones del grupo de simetría del gran icosaedro 

En los campos de la química, como la cristalografía , la espacio agrupa y los grupos puntuales de simetría describen simetrías moleculares y simetrías cristalinas. Estas simetrías subyacentes al comportamiento físico y químico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite simplificar el análisis en mecánica cuántica de estos propiedades.^[50] Por ejemplo, la teoría de grupos se utiliza para mostrar que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados implicados.

No sólo hay grupos útiles para evaluar las implicaciones de las simetrías en moléculas, sino que sorprendentemente también pronostican que las moléculas a veces pueden cambiar la simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una molécula de alta simetría cuando adopta un estado particular de baja simetría a partir desde un conjunto de estados base posibles que se relacionan la una con la otra para las operaciones de simetría de la molécula. ^[51] [52]

De la misma manera, la teoría de grupos ayuda a pronosticar los cambios en propiedades físicas que ocurren cuando un material sufre un cambio de estado , por ejemplo, de forma cristalina cúbica a una forma cristalina tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroeléctricos , donde el cambio desde un estado paraelèctric a un estado ferroeléctrico sucede a la temperatura de Curie y está relacionado con un cambio desde el estado de paraelèctric de alta simetría hasta el estado de ferroeléctrico de más baja simetría, acompañado por un llamado modo de fonón blando, un modo de enrejado vibracional que pasa por la frecuencia cero a la transición. ^[53]

Tal ruptura espontánea de la simetría ha encontrado aplicación más allá, en física de partículas elementales, donde su aparición está relacionada con la aparición de bosones de Goldstone .

Los grupos de simetría finitos como los grupos de Mathieu se usan en teoría de códigos , que se aplica en la corrección de errores en los datos transmitidos, y los reproductores de CDs . ^[54] Otra aplicación es la teoría diferencial de Galois , que caracteriza funciones que tienen primitivas de una forma prescrita, dando criterios teóricos de grupo para cuando las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales tienen soluciones en determinadas formas analíticas. ^{[nota 16]} Las propiedades geométricas que permanecen estables bajo acciones de grupo investigan en la teoría de los invariantes geométricos . ^[56]

Grupo lineal general y teorías de la representación 

Dos vectores (la ilustración de la izquierda) se multiplican por matrices (las ilustraciones del medio la derecha). La ilustración del medio representa una rotación en el sentido de las agujas del reloj de 90 °, mientras que la de más a la derecha estira la coordenada x por un factor de 2.

Los grupos de matrices constan de matrices junto con la multiplicación de matrices . El grupo lineal general GL ( n , R ) consiste en todas las matrices den -por- n invertibles con coeficientes reales . ^[57] Para referirse a sus subgrupos se habla de grupos de matrices o grupos lineales . El ejemplo de grupo diédrico mencionado más arriba puede ser visto como un (muy pequeño) grupo de matrices. Otro grupo de matrices importante es el grupo ortogonal especial SO( n ). Describe todas las rotaciones posibles en dimensión n . Vía ángulos de Euler , las matrices de rotación se utilizan en informática gráfica . ^[58]

La teoría de representación es al mismo tiempo una aplicación del concepto de grupo y elemento importante para una comprensión más profunda de los groups. ^[59] [60] estudia los grupos por sus acciones de grupo sobre otros espacios. Una clase ancha de representaciones de grupo son las representaciones lineales, es decir el grupo está actuando sobre un espacio vectorial , tales como el espacio euclidiano tridimensional R ³ . Una representación de G en un espacio vectorial real n -dimensional es simplemente un homomorfismo de grupo

ρ : G → GL ( n , R )

desde el grupo hasta el grupo lineal general. De este modo, la operación de grupo, que se puede dar de manera abstracta, se traduce en la multiplicación de matrices que lo hacen accesible a cálculos explícitos. ^{[nota 17]}

Dada una acción de grupo, esto da otros medios para estudiar el objeto sobre el que se actúa. ^{[nota 18]} Por otra parte, también produce información sobre el grupo. Las representaciones de grupo son un principio de organización en la teoría de grupos finitos, Grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos , especialmente grupo (localmente) compactos .^[59] [61]

Grupos de Galois 

Los grupos Galois fueron desarrollados para ayudar a resolver ecuaciones polinómicas a base de aprovechar sus características de simetría. ^[62] [63] Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 vienen dadas por

Intercambiando "+" y "-" en la expresión, es decir permutando las dos soluciones de la ecuación pueden ser vistas como una (muy simple) operación de grupo. Se conocen fórmulas similares para ecuaciones cúbicas y quàrtiques , pero no existen en general para las de grado 5 y superiores. ^[64] Las propiedades abstractas de los grupos de Galois asociados con polinomios (en particular su resolubilidad ) dan un criterio para saber qué polinomios tienen todas sus soluciones expresables por radicales, es decir soluciones expresables utilizando sólo adición, multiplicación, y raíces similares a la fórmula de arriba. ^[65]

El problema se puede tratar incluso de forma más pulida utilizando la teoría de cuerpos : considerando el cuerpo de descomposición de un polinomio se transforma el problema en otro del área de la teoría de cuerpos. La teoría Galois moderna generaliza el tipo citado de grupos Galois en extensiones de cuerpos y establece mediante el teorema fundamental de la teoría de Galois una relación precisa entre cuerpos y grupos, subrayando una vez más la ubicuidad de los grupos en matemáticas.

Grupos finitos 

Un grupo se denomina finito si tiene un número finito de elementos . El número de elementos se denomina el orden del grupo G . ^[66] Una clase importante es la de los grupos simétricos S _N , los grupos de permutaciones de N letras. Por ejemplo, el grupo simétrico sobre 3 letras S ₃ es el grupo que consta de todas las posibles permutaciones de las tres letras ABC , es decir contiene los elementos ABC , ACB ..., hasta CBA , en total 6 (o 3 factorial ) elementos. Esta clase es fundamental en la medida en que cualquier grupo finito se puede expresar como subgrupo de un grupo simétrico S _N para un entero adecuado N ( teorema de Cayley ). En paralelo al grupo de simetrías del cuadrado del comienzo, S ₃ también se puede interpretar como el grupo de simetrías de un triángulo equilátero .

El orden de un elemento a un grupo G es el entero positivo más pequeño n tal que a ⁿ = e , donde a ⁿ representa

es decir aplicar la operación • a n copias de a . (Si • representa la multiplicación, entonces a ⁿ corresponde a la potencia n^ésima de a .) En grupos infinitos, tal n puede no existir, en este caso el orden de a se dice que es infinito. El orden de un elemento es igual al orden del grupo cíclico generado por este elemento.

Técnicas de recuento más sofisticadas, por ejemplo recuento de clases laterales, producen afirmaciones más precisas sobre grupos finitos: El teorema de Lagrange establece que para un grupo finito G del orden de cualquier subgrupo finito H es un divisor de aproximadamente G . Los teoremas de Sylow dan una inversa parcial.

El grupo diédrico (discutido más arriba) es un grupo finito de orden 8. El orden de r ₁ es 4, como lo es el orden del subgrupo I que genera (véase más arriba). El orden de los elementos de reflexión f _v etc. es 2. Los dos órdenes son divisores de 8, como predice el teorema de Lagrange. Los grupos F _p ^× de encima tienen orden p - 1 .

Clasificación de los grupos simples finitos 

Los matemáticos a menudo se esfuerzan por una clasificación completa (o lista) de una noción matemática. En el contexto de los grupos finitos, este propósito rápidamente conduce a dificultades matemáticas profundas. Según el teorema de Lagrange, los grupos finitos de orden p , un número primo, son grupos necesariamente cíclicos (abelianos) Z _p . Los grupos de orden p ² también se puede demostrar que son abelianos, una afirmación que no se generaliza a la orden p ³ , como el grupo no abeliano D ₄ de orden 8 = 2 ³ mostrado más arriba. ^[67] Los sistemas informáticos de álgebra simbólica se pueden utilizar para listar grupos pequeños, pero no hay ninguna clasificación de todos los grupos finitos. ^{[nota 19]} Un paso intermedio es la clasificación de grupos simples finitos. ^{[nota 20]} Un grupo no trivial llama simple si sus subgrupos normales sólo son el grupo trivial y el propio grupo. ^{[nota 21]} El teorema de Jordan-Hölder presenta los grupos simples como los ladrillos de construcción para todos los grupos finitos. ^[72] Listar todos los grupos simples finitos fue un logro principal en la teoría de grupos contemporánea. El ganador de la Medalla Fields de 1998 Richard Borcherds logró demostrar la conjetura Monstrous moonshine , una relación sorprendente y profunda del " grupo monstruo "(el grupo esporádico simple finito más grande) con ciertas formas modulares , un elemento clásico del análisis complejo , y la teoría de cuerdas , una teoría que si fuera cierta unificaría la descripción de muchos fenómenos físicos. ^[73]

Grupos con estructura adicional 

Muchos grupos son simultáneamente grupos y ejemplos de otras estructuras matemáticas. En el lenguaje de la teoría de categorías , son objetos de grupo en una categoría , esto quiere decir que son objetos (es decir, ejemplos de otra estructura matemática) que vienen con transformaciones (llamadas morfismos ) que imitan los axiomas de grupo . Por ejemplo, todos los grupos (como los definidos arriba) son también un conjunto, así un grupo es un objeto de grupo en la categoría de conjuntos .

Grupos topológicos 

La circunferencia goniométrica al plano complejo con la multiplicación compleja es un Grupo de Lie y, por ello, un grupo topológico. Es topológico ya que la multiplicación y división complejas son continuas. Es una variedad y por tanto un Grupo de Lie, porque cada entrono , como el arco rojo en el diagrama, se parece a una parte de la recta real (mostrada abajo).

Algunos espacios topológicos pueden dotarse de una ley de grupo. De forma que la ley de grupo y la topología encajen bien, las operaciones de grupo deben ser funciones continuas, es decir, g • h , y g ^-1 no deben variar repentinamente si g y h varían sólo un poco. Tales grupos se denominan grupos topológicos , y son los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos . ^[74] Los ejemplos más básicos son los reales R con la adición, ( R \ {0}, •) , y de forma similar con cualquier otro cuerpo topológico como los números complejos o los números de p-ADIC .Todos estos grupos son localmente compactos , por lo tanto tienen medidas Haar y se pueden estudiar mediante el análisis armónico . El primero ofrece un formalismo abstracto de integrales invariantes. Invariante significa en el caso de los números reales, por ejemplo:

para cualquier constante c . Los grupos de matrices sobre estos cuerpos quedan bajo este régimen, como es el caso de los anillos adèlics ii los grupos algebraicos adèlics , que son básicos en teoría de números . ^[75] Los grupos de Galois de extensiones infinitas de cuerpos como el grupo de Galois absoluto también se pueden equipar con una topología, la llamada topología de Krull , que a su vez es central para generalizar la conexión esbozada más arriba entre los cuerpos y los grupos a las extensiones de cuerpos infinitos. ^[76] Una generalización avanzada de esta idea, adaptada a las necesidades de la geometría algebraica , es el grupo fundamental de étale . ^[77]

Grupos de Lie 

Los grupos de Lie (en honor a Sophus Lie ) son grupos que también tienen una estructura de variedad diferenciable , es decir, son espacios que se asemejan localmente un poco al espacio euclidiano de dimensión adecuada. ^[78] Otra vez, el estructura adicional, aquí la estructura de variedad diferenciable, debe ser compatible, es decir las funciones que corresponden a la multiplicación y la inversa deben ser suaves .

Un ejemplo estándar es el grupo lineal general que se ha presentado arriba: es un subconjunto abierto del espacio de todas las matrices de n -por- n , porque viene dado por la desigualdad

det ( A ) ≠ 0,

donde A denota una matriz de n -por- n . ^[79]

Los grupos de Lie son de importancia fundamental en física: El teorema de Noether conecta las simetrías continuas con las leyes de conservación . ^[80] La rotación , así como las traslaciones en el espacio y el tiempo son simetrías básicas de las leyes de el mecánica . Se pueden, por ejemplo, utilizar para construir modelos simples e imponer, digamos, la simetría axial sobre una situación y conducirá típicamente a una simplificación significativa en las ecuaciones que hay que resolver para proporcionar una descripción física. ^{[nota 22]} Otro ejemplo son las transformaciones de Lorentz , que relacionan las medidas del tiempo y la velocidad de dos observadores en movimiento relativo uno respecto del otro. Se pueden deducir puramente desde la teoría de grupos, expresando las transformaciones como simetría rotacional del espacio Minkowski . Este espacio sirve en ca la ausencia significativa de gravitación como modelo del espacio-tiempo en relatividad especial . ^[81] El grupo completo de simetría del espacio de Minkowski, es decir incluyendo traslaciones, es conocido como el grupo de Poincaré .Por lo explicado, tiene un papel fundamental en la relatividad especial y, por implicación, para la teoría cuántica de campos .^[82] Las simetrías que varían con la posición son centrales en la descripción moderna de interacciones físicas con ayuda de la teoría de gauge . ^[83]

Generalizaciones 

Estructuras emparentadas con la de grupo
	Totalidad	Asociatividad	neutro	simétrico
Grupo	Sí	Sí	Sí	Sí
Monoide	Sí	Sí	Sí	No
Semigrupo	Sí	Sí	No	No
Bucle	Sí	No	Sí	Sí
Quasigrup	Sí	No	No	Sí
Magma	Sí	No	No	No
Grupoide	No	Sí	Sí	Sí
Categoría	No	Sí	Sí	No

La tabla de la izquierda da una lista de unas cuantas estructuras que generalizan el concepto de grupo.

En el álgebra abstracta, se definen estructuras más generales relajante algunos de los axiomas que definen un grupo. ^{[27] [84] [85]}Por ejemplo, si el requisito de que todos los elementos tengan un inverso elimina, la estructura algebraica que resulta se llama un monoide . Los números naturales N (incluyendo el 0) con la adición forman un monoide, como lo hacen los enteros distintos de cero con la multiplicación ( Z \ {0}, •) , ver más arriba. Hay un método general para añadir formalmente inversa elementos de cualquier monoide (abeliano), muy parecido al mismo camino como( Q \ {0}, •) se obtiene de ( Z \ {0}, •) , conocido como el grupo de Grothendieck . Los grupoides son similares a los grupos excepto que la composición a • b no es necesario que esté definida para todo a y b .

 Surgen en el estudio de formas más complicadas de simetría, a menudo en estructuras   topológicas y   analíticas, como el grupoide fundamental. 

Notas 

1.                 A Mathematical Reviews salen 3.224 artículos de investigación sobre teoría de grupos y sus generalizaciones escritos durante el año 2005.

2.                 El axioma de clausura ya viene implícito por la condición de que • sea una operación. Por eso algunos autores omiten este axioma. [5]

3.                 Véase, por ejemplo, los libros de Lang (2002, 2005) y Herstein (1996, 1975)

4.                 La palabra homomorfismo proviene de la palabra Griega ὁμός-el mismo y μορφή -estructura.

5.                 Sin embargo, un grupo no está determinado por su enrejado de subgrupos. Véase [30]

6.                    El hecho de que la operación de grupo lo extienda canónicamente es un ejemplo de propiedad universal .

7.                 Las funciones inyectivas y exhaustivas se corresponden respectivamente con Monomorfismo y epimorfismos . Se intercambian al pasar a la categoría dual .

8.                 Véase el teorema de Seifert-van Kampen como ejemplo.

9.                 Un ejemplo es la cohomología de grupo de un grupo que iguala la homología singular de su espacio de clasificación .

10.               La transición de los enteros hacia los racionales a base de añadir las fracciones se generaliza con el cuerpo de fracciones .

11.               Por ejemplo, un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un cuerpo es necesariamente cíclico. Véase Lang  2002 , Theorem IV.1.9 . Las nociones de torsión de un módulo y de álgebra simple son otros ejemplos de este principio.

12.               La propiedad manifestada es una definición posible de números primos. Véase elemento primero .

13.               Por ejemplo, el protocolo Diffie-Hellman hace servir el logaritmo discreto .

14.               La notación aditiva para elementos de un grupo cíclico sería t • a , t de Z .

15.               De forma más rigurosa, todo grupo es el grupo de simetría de algún párrafo , [49]

16.               Más precisamente, se considera la acción de monodromía sobre el espacio vectorial de soluciones de las ecuaciones diferenciales. [55]

17.               Esto fue decisivo para la clasificación de los grupos simples finitos, por ejemplo. [22]

18.               Véase, por ejemplo, el lema de Schur por el impacto de una acción de grupo sobre un módulo simple . Un ejemplo más involucrado es la acción de un grupo de Galois absoluto sobre la cohomología de étale .

19.                 Los grupos de orden como máximo 2000 se conocen. Salvo isomorfismos, hay unos 49 millardos. [68]

20.               El hueco entre la clasificación de los grupos simples y la de todos los grupos radica en el problema de extensión , un problema demasiado duro para ser resuelto en general. [69]

21.               De forma equivalente, un grupo no trivial es imple si sus únicos grupos cocientes son el grupo trivial y el propio grupo. [70] [71]

22.               Véase métrica de Schwarzschild para un ejemplo donde la simetría reduce en gran medida la complejidad de los sistemas físicos.

 eferencias  

1.              Herstein  1975 , § 2, pág. 26

2.              Hall  1967 , § 1.1, pág. 1

"The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."

3.              Lang  2005 , AP. 2, pág. 360

4.              Herstein  1975 , § 2.1, pág. 27

5.              Lang 2002 .

6.              Herstein  1975 , § 2.6, pág. 54

7.              Wussing  2007

8.              Kleiner  1986

9.              Smith  1906

10.            Galois  1908

11.            Kleiner  1986 , pág. 202

12.            Cayley  1889

13.            Wussing  2007 , § III.2

14.            Lie  1973

15.            Kleiner  1986 , pág. 204

16.            Wussing  2007 , § I.3.4

17.            Jordan  1870

18.            von Dyck  1882

19.            Curtis  2.003

20.            Mackey  1976

21.            Borel  2001

22.          22,0 22,1 Aschbacher 2004 .

23.            Ledermann  1953 , § 1.2, pág. 4-5

24.            Ledermann  1973 , § I.1, p. 3

25.            Lang  2002 , § I.2, p. 7

26.          ↑ Jump up to:26,0 26,1 Lang  2005 , § II.1, pág.17

27.          ↑ Jump up to:27,0 27,1 Mac Lane  1998

28.            Lang  2005 , § II.3, p. 34

29.            G . Lang  2005 , § II.1, pág. 19

30.            Suzuki 1951. .

31.            Ledermann  1973 , § II.12, pág. 39

32.            Lang  2005 , § II.4, pág. 41

33.            Lang  2002 , § I.2, p. 12

34.            Lang  2005 , § II.4, pág. 45

35.            Lang  2002 , § I.2, p. 9

36.            Hatcher  2002 , Chapter I, pág. 30

37.            Coornaert, Delza & Papadopoulos 1990

38.            for example, class groups andPicard groups ; see Neukirch  1999, in particular § § I.12 and I.13

39.            Seress  1997

40.            Lang 2002 , § II.1, pág. 84.

41.            Lang  2005 , Chapter VII

42.            Rosen  2000 , pág. 54 (Theorem 2.1)

43.            Lang  2005 , § VIII.1, pág. 292

44.            Lang  2005 , § II.1, pág. 22

45.            Lang  2005 , § II.2, p. 26

46.            Lang  2005 , § II.1, pág. 22 (example 11)

47.            Lang  2002 , § I.5, pág. 26, 29

48.            Weyl  1.952

49.            Frucht 1939 .

50.            Conway, Delgado Friedrichs & Huson et al.  2001 . See alsoBishop  1.993

51.            Bersuker , Isaac. The Jahn-Teller Effect . Cambridge University Press, 2006, p. 2. ISBN 0521822122 .

52.            Jahn & Teller  1937

53.            Dove , Martin T. Structure and Dynamics: an atomic view of materiales . Oxford University Press, 2003, p. 265. ISBN 0198506783 .

54.            Welsh  1989

55.            Kuga 1993 , pág. 105-113 ..

56.            Mumford, Fogarty & Kirwan  1994

57.            Lay  2003

58.            Kuipers  1999

59.          ↑ Jump up to:59,0 59,1 Fulton & Harris  1991

60.            Serre  1977

61.            Rudin  1990

62.            Robinson  1996 , p. viii

63.            Artin  1998

64.            Lang  2002 , Chapter VI (see in particular pág. 273 for concrete examples)

65.            Lang  2002 , pág. 292 (Theorem VI.7.2)

66.            Kurzweil & Stellmacher  2004

67.            Artin  1.991 , Theorem 1.6.14 .See also Lang  2,002 , p. 77 for similar results.

68.            Besche, Eick & O'Brien 2001 .

69.            Aschbacher 2004 , pág. 737.

70.            Michl 2006 .

71.            Carter 1989 .

72.            Lang  2002 , § I. 3, pág. 22

73.            Ronan  2007

74.            Husain  1966

75.            Neukirch  1999

76.            Shatz  1.972

77.            Milne  1980

78.            Warner  1983

79.            Borel  1.991

80.            Goldstein  1980

81.            Weinberg  1.972

82.            Naber  2003

83.            Becchi  1997

84.          Denecke & Wismath  2002

85.          Romanowski & Smith  2,002

-------------------------------------------------- -------------------- ------------------------

Bibliografia:

www.wikipedia.org

Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003.

Nueva Enciclopedia Tematica Grolier 2012

https://www.ecured.cu 

--------------------------  -----------------------

------------------------------  -----------------------------  ----------