El Teorema de Arrow
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El teorema de imposibilidad de Arrow , o simplemente el teorema de Arrow , es un teorema probado del economista Kenneth Arrow en sus Choices de valores sociales e individuales (1951). Con este teorema, Arrow demostró que dada una elección entre al menos tres alternativas y las condiciones de "universalidad", "no imposición", "no dictatorialidad", "monotonicidad" e "independencia de alternativas irrelevantes" establecidas a priori, es No es posible determinar una función de elección pública que los respete.
El teorema se formuló sobre la base del intento fallido de elaborar cualquier procedimiento de decisión colectiva que pudiera satisfacer algunos requisitos razonables para garantizar una elección no arbitraria. Un ejemplo de un procedimiento que no puede satisfacer todos los requisitos anteriores es el sistema de votación por mayoría como lo muestra la paradoja de Condorcet (ciclicidad de las preferencias colectivas versus la transitividad de las individuales), que afirma que en un voto democrático siempre se toman decisiones. (si el votante individual vota A porque es preferible a B y B porque es preferible a C , y por lo tanto A es preferible aC , no es seguro que en el nivel comunitario A sea necesariamente preferible a C ).
Declaración
En el caso de una comunidad que necesite adoptar un orden de preferencias entre varias opciones. Cada individuo de la comunidad tiene su propio orden de preferencia, que puede expresar, por ejemplo, votando. La cuestión es encontrar un procedimiento (por ejemplo, un sistema de votación), más generalmente llamado función de elección pública , que transforme el conjunto de preferencias individuales en un orden global coherente. El teorema considera las siguientes propiedades, que Arrow supone que representan requisitos razonables para un sistema de votación justo:
Universalidad (o dominio irrestricto ): debe conducir a una decisión, cualquiera que sea la configuración de las preferencias de los votantes. Por tanto, no debe fallar en el caso de preferencias multimodales;
no imposición (o soberanía ciudadana ): cualquier posible preferencia social debe ser alcanzable a partir de un conjunto apropiado de preferencias individuales (cada resultado debe poder lograrse de alguna manera);
no dictatorialidad : la función de elección social no debe simplemente seguir el orden de las preferencias de un individuo o un subconjunto de individuos, mientras ignora las preferencias de los demás;
monotonicidad o asociación positiva entre valores individuales y sociales: si un individuo cambia su orden de preferencias promoviendo una opción dada, la función de elección social debe promover esa opción o permanecer sin cambios, pero no puede asignar una preferencia menor a esa opción (ningún individuo debería poder hablar en contra de una opción asignándole una preferencia mayor );
independencia de alternativas irrelevantes : si la atención se limita a un subconjunto de opciones, y la función de elección social se aplica sólo a ellas, el resultado debe ser compatible con el caso en el que la función de elección social se aplica a todo el conjunto de alternativas posibles.
El teorema de Arrow establece que si el grupo de ciudadanos votantes incluye al menos dos individuos y el conjunto de posibles alternativas al menos tres opciones, no es posible construir una función de elección social que satisfaga todos los requisitos anteriores al mismo tiempo.
Según una versión alternativa del teorema de Arrow, el requisito de monotonicidad se reemplaza por:
unanimidad (o criterio de Pareto , o la eficiencia de Pareto ): si cada individuo prefiere una opción determinada A a opción B , entonces A debe también ser preferido a B por la función de elección social.
Esta formulación es más restrictiva, ya que asumir tanto la monotonicidad como la independencia de alternativas irrelevantes implica una eficiencia de Pareto .
Interpretaciones
El teorema de Arrow es un resultado matemático, pero a menudo se expresa en términos no matemáticos, con afirmaciones como: ningún sistema de votación es justo , cualquier sistema de votación puede manipularse o el único sistema de votación no manipulable es la dictadura . Sin embargo, se debe considerar que tales interpretaciones no están establecidas por el resultado matemático. Por ello, no han recibido el consentimiento unánime de la comunidad académica.
Arrow usa el término justo para referirse a sus criterios. De hecho, algunos de ellos, como el óptimo de Pareto o la solicitud de ausencia de imposiciones, pueden parecer banales. No es así, por ejemplo, para el criterio de independencia de alternativas irrelevantes . Considere el siguiente ejemplo: Dave, Chris, Bill y Agnes compiten por el mismo trabajo; supongamos que Agnes tiene una clara ventaja sobre otros competidores. Ahora, según el resultado de Arrow, podría haber una situación en la que, si Dave se retira, Bill, y no Agnes, obtiene el trabajo. Esto puede parecer injusto para muchos; sin embargo, el teorema de Arrow implica que situaciones de este tipo no pueden evitarse en general.
Varios teóricos, y no, se han propuesto relajar, es decir, hacer menos restrictivo, el criterio de independencia de alternativas irrelevantes para resolver la paradoja. Los proponentes de sistemas de votación basados en el ordenamiento de alternativas afirman que el criterio sería restrictivo sin razón y que no encontraría aplicación en la mayoría de situaciones concretas. De hecho, este criterio está excluido de varios mecanismos de votación de uso común, así como en generalizaciones como el método Borda .
El teorema de Gibbard-Satterthwaite , un intento de relajar las condiciones que conducen al resultado de Arrow, reemplaza el criterio de independencia de alternativas irrelevantes por un criterio de no manipulabilidad. El teorema, sin embargo, llega a las mismas conclusiones (paradójicas) que Arrow, demostrando así la equivalencia entre el criterio de independencia de alternativas irrelevantes y la no manipulabilidad.
En conclusión, el teorema de Arrow muestra que votar es un juego no trivial y que la teoría de juegos podría usarse para predecir el resultado de la mayoría de los mecanismos de votación. Esto podría interpretarse como un resultado desalentador, ya que un juego no necesariamente tiene un equilibrio eficiente (o socialmente deseable). La alternativa sería trasladar los resultados obtenidos por Sen en el campo de la economía al campo de la política electoral , que sin embargo requiere relajar una de las condiciones vistas al inicio.
Consecuencias
En 1970 , aplicando el mismo principio que Arrow, el premio Nobel de economía Amartya Sen mostró la imposibilidad matemática del liberalismo de Pareto . Mediante una generalización del método a conjuntos de vectores en n dimensiones, el economista Herbert Scarf demostró en 1962 la inexistencia de la mano invisible para mercados con más de dos bienes cuyos precios son interdependientes. El resultado de Arrow representa uno de los primeros acercamientos a las ciencias sociales a través del formalismo matemático; a través de esta y otras obras, Kenneth Arrow contribuyó significativamente a la evolución de la economía política durante el siglo XX en la dirección de un mayor rigor matemático.
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